2-14 برخورد دو ساليتون48
2-15 پديده تسونامي در دريا51
بدون آنکه چيزي از معادلات ديفرانسيل و روشهاي حل آنها بدانيم، ارزيابي اين شاخه مهم رياضيات دشوار است. علاوه بر اين پيشرفت نظريه معادلات ديفرانسيل با پيشرفت کلي رياضيات به هم پيوند خورده است و نميتواند از آن جدا باشد.
معادلات ديفرانسيل زيادي که جوابهاي آنها با روشهاي تحليلي بدست نميآيند به بررسي در روشهاي تقريب عددي منجر شدهاند. پيش از سال 1900 روشهاي انتگرالگيري عددي نسبتاً مؤثري ابداع شده بودند ولي پياده کردن آنها به علت نياز به انجام محاسبات با دست يا با وسايل محاسبه خيلي ابتدايي بياندازه محدود بود. در پنجاه سال اخير توسعه روزافزون رايانههاي چند منظوره پر قدرت دامنه مسائلي را که ميتوان به نحوي مؤثر با روشهاي عددي بررسي کرد بياندازه وسعت بخشيده است.
کار مهم ديگر در زمينه معادلات ديفرانسيل در سده بيستم، ايجاد روشهاي هندسي يا توپولوژيکي، بويژه براي معادلات غيرخطي است. هدف اين است که حداقل رفتار کيفي جوابها را از ديدگاه هندسي و نيز تحليلي درک کنيم. اگر اطلاعات تفضيلي بيشتري لازم باشد، معمولاًميتوان از تقريب عددي استفاده کرد. در چند سال اخير، اين دو روند به هم پيوستهاند. رايانهها، و بويژه نمودارهاي رايانهيي، براي مطالعه دستگاه معادلات ديفرانسيل غيرخطي نيروي محرکه جديدي به شمار ميروند. پديدههاي غير منتظرهاي کشف شدهاند که با اصطلاحاتي نظير جاذبههاي عجيب، آشوبها، و بر خالها به آنها اشاره ميشود و با جديت مورد بررسي قرار گرفتهاندکه در برخي از کاربردها به شناختهاي جديد و مهمي منجر شدهاند. هر چند معادلات ديفرانسيل موضوعي قديمي است، که اطلاعات زيادي از آن در دست است، ولي در طليعه سده بيست و يکم اين موضوع همچنان منبعي پر بار از مسائل حل نشده مهم و جالبي مانده است.
رايانه ميتواند وسيله ارزشمندي در مطالعه معادلات ديفرانسيل باشد. سالها از رايانهها براي اجراي الگوريتمهاي عددي استفاده ميشد تا تقريبهاي عددي براي جوابهاي معادلات ديفرانسيل به دست آورند. در حال حاضر اين الگوريتم ها تکامل يافته و در تعميم و کار آيي به سطح بسيار بالايي رسيدهاند. چند سطر از رمز رايانهيي، که با زبان سطح بالايي در يک رايانه نسبتاً ارزان نوشته و اجرا شده باشد. (اغلب در مدت چند ثانيه) براي حل عددي رشته وسيعي از معادلات ديفرانسيل کافي است. در بيشتر مراکز رايانهيي روالهاي عادي پيشرفتهتر در دسترساند. توانايي اين روالها ترکيبي هستند از توانايي پرداختن به دستگاه خيلي بزرگ و پيچيده و چندين ويژگي مفيد براي تشخيص که کاربر را با مسائلي که ممکن است با آنها مواجه شود آگاه ميسازند. خروجي معمولي از يک الگوريتم عددي جدولي از اعداد شامل مقادير برگزيده متغير مستقل و مقادير متناظر متغيرهاي وابسته است. با امکانات گرافيک رايانهيي مناسب، ميتوان به سادگي جواب يک معادله ديفرانسيل را به طريق نموداري نمايش داد، خواه جواب به طريق عددي حاصل شده باشد يا خواه نوعي از روش تحليلي. اين گونه نمايش نموداري اغلب براي درک و تعبير جواب يک معادله ديفرانسيل مفيدتر و روشنگرتر از جدولي از اعداد يا يک فرمول تحليلي پيچيده است.[1و2]
1-1 معادلات ديفرانسيل خطي و غيرخطي
معادلات ديفرانسيل در يک دسته بندي کلي به دو دسته خطي و غيرخطي تقسيم ميشوند. در يک تعريف بسيار ساده، معادلهاي خطي است که، مرتبه تمامي کميات موجود در آن، يک باشد. در صورتي که براي معادله غيرخطي، مرتبههاي غير از يک هم، در معادله حضور دارند. صورت کلي اين معادلات بصورت زير ميباشد
(1-1)F(t,y,(y,…,y^((n) ))) ?=0
اين معادله را خطي گويند، هرگاه F تابعي از متغيرهاي y,(y,…,y^((n)) ) ? باشد. از اين رو صورت کلي معادله ديفرانسيل معمولي خطي از مرتبه n چنين است
(1-2)a_0 (t) y^n+a_1 (t) y^((n-1) )+…+a_n (t)y=g(t)
نظريه رياضي معادلات خطي و روشهاي حل آنها توسعه و گسترش بسيار يافتهاند. برعکس در مورد معادلات غيرخطي اين نظريه پيچيدهتر است و روشهاي حل آنها کمتر رضايتبخش هستند. از اين نظر، خوشبختانه بسياري از مسائل مهم، در تقريب اول به معادلات ديفرانسيل معمولي خطي تعديل مييابند.
1-2 تفاوتهاي بين معادلات خطي و غيرخطي
در بررسي مسأله مقدار اوليه
اساسيترين سؤالهايي که بايد در نظر گرفته شوند اين است که آيا جوابي وجود دارد، آيا اين جواب يکتاست، در چه بازهاي اين جواب تعريف شده است و چگونه ميتوان فرمول مفيدي براي جواب به دست آورد يا نمودار آن را رسم کرد. اگر معادله ديفرانسيل خطي باشد، يک فرمول عمومي براي جواب وجود دارد. علاوه بر اين، براي معادلات خطي جوابي عمومي (شامل يک ثابت دلخواه) وجود دارد که شامل همه جوابهاست، و نقاط احتمالي ناپيوستگي جواب را ميتوان به آساني با تعيين نقاط ناپيوستگي ضرايب شناسايي کرد. اما، براي معادلات غيرخطي فرمول متناظري وجود ندارد، بنابراين تعيين ويژگيهاي کلي مشابه براي جوابها دشوارتر است.
بازه تعريف
مسأله خطي
(1-3)y ?+p(t)y=g(t)
با شرط اوليه y(t_0 )=y_0، در سراسر هر بازه حول t=t_0 که در آن توابع p و g پيوسته باشند جواب دارد. از سويي ديگر، براي يک مقدار اوليه غيرخطي ممکن است به دشواري بتوان بازهاي را که در آن جوابي وجود دارد تعيين کرد.
جواب عمومي
معادلات خطي و غيرخطي از جنبه ديگري نيز تفاوت دارند که مربوط به استنباط ما از جواب عمومي است. براي معادله مرتبه اول ميتوان جوابي يافت که شامل يک ثابت دلخواه باشد، و از آن همه جوابهاي ممکن با مشخص کردن مقادير اين ثابت به دست ميآيند. درباره معادلات غيرخطي ممکن است وضع چنين نباشد؛ حتي اگر بتوان جوابي شامل يک ثابت دلخواه پيدا کرد، ممکن است جوابهايي وجود داشته باشند که نتوان آنها را به ازاي هيچ مقداري از اين ثابت به دست آورد. بنابراين اصطلاح “جواب عمومي” را فقط در بحث معادلات خطي به کار برده ميشود.
جوابهاي ضمني
بار ديگر يادآوري ميکنيم که معادله خطي مرتبه اول راه حل دقيق براي جواب y=?(t) دارد. مادامي که توابع اوليه لازم را بتوان به دست آورد، در هر نقطه مقدار جواب را ميتوان تنها با گذاشتن مقدار مناسب t در دستور مزبور به دست آورد. براي معادله غيرخطي به ندرت ميتوان چنين جواب صريحي پيدا کرد. معمولاّ در بيشتر موارد حداکثر ميتوان رابطهاي به صورت
(1-4)F(t,y)=0
شامل t و y يافت که جواب y=?(t) در آن صدق کند. حتي همين کار را هم فقط براي انواع خاصي از معادلات ديفرانسيل ميتوان انجام داد، که معادلات تفکيکپذير مهمترين آنها هستند. رابطه بالا را يک انتگرال (يا انتگرال اول) از معادله ديفرانسيل بدست ميآورد و جواب را به صورت تابع ضمني معين ميکند؛ بدان معني که به ازاي هر مقدار t بايد معادله بالا را حل کنيم تا مقدار متناظر y را به دست آوريم. اگر رابطه بالا نسبتاّ ساده باشد، ميتوان با روشهاي تحليلي آن را نسبت به y حل کرد و از آنجا فرمول صريحي براي جواب به دست آورد. اما اغلب چنين نيست، بايد به محاسبات عددي روي آورد تا به ازاي مقدار tي مفروض بتوان مقدار y را به دست آورد. وقتي که زوجهاي متعددي ازt و y محاسبه شدند، رسم آنها و ترسيم خم انتگرالي که از آن نقاط ميگذرد اغلب مفيد است. در صورت امکان بايد اين کار را با استفاده از رايانه انجام داد.[1و3]
1-3 معادله شرودينگر غيرخطي
معادله شرودينگر غيرخطي1 يک مدل از تحول بسته يک بعدي امواج سطحي روي آب عميق است. اين معادله توصيف چرخش موج غيرخطي در غيرخطي، به طور قوي متفرق کننده و سيستمهاي هذلولي است. انتشار يک حالت راهنما در يک فيبر مونو- مد غيرخطي کامل توسط معادله شرودينگر غيرخطي مدل سازي ميشود.
صورت کلي معادله شرودينگر به صورت زير است:
(1-5)P (?^2 A)/(?x^2 )+QA|A|^2=i ?A/?t
که يک معادله ديفرانسيل انتگرالپذير است. از آنجا که اين معادله ساختاري شبيه به معادله شرودينگر در کوانتوم مکانيک دارد لذا آنرا معادله غيرخطي شرودينگر گويند(|A|^2 در اينجا معادل پتانسيل در کوانتوم است). QA|A|^2، بخش غيرخطي و P (?^2 A)/(?x^2 )، عامل پاشندگي ناميده ميشود. در حقيقت اين معادله نقش مهمي در تئوري انتشار بستههاي موج در سيستمهاي فيزيکي پاشنده دارد. بسياري از سيستمهاي غيرخطي، جواب موج هارمونيک زير را دارند:
(1-6)?=aexp[i(kx-?(k)t)]
که دامنه a به قدر کافي کوچک است. ميخواهيم سيستمي را بررسي کنيم که حالت اصلي آن يک جواب هارمونيک خطي است و با وجود اينکه اين اثرات خطي بسيار بزرگ هستند اما از اثرات غيرخطي نيز نميتوان صرفنظر کرد. ضمناٌ فرض ميکنيم که بستههاي موج نسبت به زمان و مکان در مقايسه با نوسانات سينوسي، کند تغيير باشد. براي مثال موج AM راديو شامل يک موج رونده نوساني تند تغيير و يک بسته موج کند تغيير است. شکل 1-1
شکل1-1موج AM شامل يک موج رونده نوساني تند تغيير و يک بسته موج کند تغيير
رابطه پاشندگي براي يک سيستم خطي واقعي از دامنه مستقل است. اما در اينجا فرض ميکنيم که در سيستم با يک پاشندگي ضعيف سروکار داريم و رابطه پاشندگي به دامنه وابسته است و :
(1-7)?=?(kو|A|^2 )
? را حول عدد موج k_1 و فرکانس ?_1 بسط تيلور ميدهيم:
(1-8)?-?_1=[??/?k]_1.(k-k_1 )+1/2 [(?^2 ?)/(?k^2 )]_1. (k-k_1 )^2+[??/(?|A|^2 )]_1. |A|^2…
اين رابطه يک فضاي فوريه معادل با رابطه اپراتوري است که اگر روي A اثر کند، ميدهد:
(1-9)i[?/?t+[??/?k]_0 ?/?x]A+1/2 [(?^2 ?)/(?k^2 )]_0.(?^2 A)/(?x^2 )-[??/(?|A|^2 )]_0. A|A|^2=0
?-?_0=i ?/?t , k-k_0=-i ?/?x
که از جملات مرتبه بالاتر صرفنظر شده است. معادله (1-9) همان معادله NLS است که تاثير جمله غيرخطي را با توجه به اينکه فرض کنيم سيستم داراي رابطه پاشندگي وابسته به دامنه است، نشان ميدهد. اين روش صريحاً به ما ميگويد که چگونه معادله NLS ايجاد ميشود ولي ضرايب آن را مشخص نميکند. از آنجا که xوt متغيرهاي نرمال فضا و زمان هستند، دو دسته متغير X_n=?^n x و T_n=?^n t را براي بسته موج کند تغيير تعريف ميکنيم و اين متغيرها را مستقل فرض ميکنيم (روش اختلال کاهنده در حد نيمه پيوسته). براي يافتن ضرايب معادله براي بسته موج از يک مثال استفاده ميکنيم. براي اين منظور معادله کلاين- گوردون درجه سه را در نظر ميگيريم:
(1-10)?_u-?_n=??-??^3
که داراي لاگرانژي زير است:
(1-11)L=1/2 (?_x^2+?_t^2 )+1/2 ??^2-1/4 ??^4
و پتانسيلي به شکل زير دارد:
(1-12)V(?)=1/2 ??^2-1/4 ??^4
اين معادله در ?=0 داراي مينيمم و در?=±(?/?)^(1/2) ماکسيمم است.?=0 يک جواب براي (1-10) است و مي توان ? را به صورت زير بسط داد:
(1-13)?=?^p ?^((1) )+?^2p ?^((2) )+…
?/?x و ?/?t را نيز طوري تغيير ميدهيم که با X_n و T_n متناسب باشند:
(1-a14)?/?x??/?x+?_(n=1)???^n ?/(?X_n )?
(1-b14) ?/?t??/?t+?_(n=1)???^n ?/(?T_n )?
متغيرهاي T_n و X_n و x و tرا متغيرهاي مستقل در نظر ميگيريم. با قرار دادن روابط
(1-a14) و (1-b14) در (1-10) خواهيم داشت:
(1-15) {(?/?x+? ?/(?X_1 )+?^2 ?/(?X_2 ))^2-(?/?t+? ?/(?T_1 )+?^2 ?/(?T_2 )…)^2 }-?(?^p ?^((1) )+?^2p ?^((2) )…)+?(?^p ?^((1) )+?^2p ?^((2) )…)^3=0
حال جملات را بر حسب مرتبههاي مختلف ? مينويسيم :
(1-a16)O(?^p )?(?^2/(?x^2 )-?^2/(?t^2 )-?) ?^((1) )
(1-b16) O(?^(p+1) )?2(?^2/(?x?X_1 )-?^2/(?t?T_1 )-?) ?^((1) )

(1-c16)O(?^2p )?2(?^2/(?x^2 )-?^2/(?t^2 )-?) ?^((2) )
(1-d16)O(?^( 2p+1) )?2(?^2/(?x?X_1 )-?^2/(?t?T_1 )) ?^((2) )
(1-e16)O(?^(p+2) )?2(?^2/(?x?X_2 )-?^2/(?t?T_2 )) ?^((1) )+(?^2/(?X_1^2 )-?^2/(?T_1^2 )) ?^((1) )
(1-f16)0(?^3P )??(?^((1) ) )^3+(?^2/(?x^2 )-?^2/(?t^2 )-?) ?^((3) )
پس از انجام يک سري محاسبات رياضي دو مقدار p=1 وp=2 را بدست ميآوريم. اگر p=2 باشد آنگاه نميتوان جواب محسوسي براي ?^((1) ) پيدا نمود لذا با p=1 کار ميکنيم. جملات مختلف را بر حسب توان ? مساوي با صفر قرار ميدهيم:
(1-a17)O(?)?(?^2/(?x^2 )-?^2/(?t^2 )-?) ?^((1) )=0
(1-b17) O(?^2 )?(?^2/(?x^2 )-?^2/(?t^2 )-?) ?^((2) )=-2(?^2/(?x?X_1 )-?^2/(?t?T_1 )) ?^((1) )
(1-c17)O(?^3 )?(?^2/(?x^2 )-?^2/(?t^2 )-?) ?^((3) )=-2(?^2/(?x?X_1 )-?^2/(?t?T_1 )) ?^((2) )-2
(1-d17)(?^2/(?x^2 )-?^2/(?t^2 )) ?^((1) )-(?^2/(?X_1^2 )-?^2/(?T_1^2 )) ?^((1) )-?(?^((1) ) )^3
ميتوان جواب هارمونيکي را براي (1-a17) بدست آورد البته چون اپراتورهاي مشتقگيري فقط برحسب x وt هستند به صورت زير عمل ميکنيم:
(1-18)?^((1) )=A(X_1,X_2,…,T_1,T_2,..)exp(i?)+c.c.
?=kx-?t+?
?^2=k^2+? ?>0
تابع A در رابطه بالا، تابع دامنه ترکيبي اختياري براي حالت کند تغيير است. بنابراين تا اينجا يک موج خطي نوساني را که داراي بسته موج کند تغيير است بدست آوردهايم. با قرار دادن (1-18) در (1-b17) داريم:
(1-19)(?^2/(?x^2 )-?^2/(?t^2 )) ?^((2) )=-2i(k ?A/(?X_1 )+? ?A/(?T_1 ))exp(i?)+c.c.
براي يافتن ?^((2) ) از اين رابطه به يک مسئله بر ميخوريم و آن اينکه به خاطر وجود اپراتور خطي يکسان در هر دو معادله (1-a17) و (1-19)، قسمتي از جواب مشابه حل (1-18) خواهد بود در نتيجه طرف راست معادله (1-19) با اين جواب ترکيب خواهد شد. ضمناً يک جمله exp(i?) نيز خواهيم داشت. بنابراين انتگرالجزيي?^((2) ) شامل جملاتي مثل ?exp(i?) خواهد بود. وقتي کهt?? اين نوع جملات بزرگ ميشوند و لذا تئوري اختلال درt>?^(-1) ناتوان خواهد شد. بنابراين يا بايد A يک مقدار ثابت باشد و يا در معادله زير صدق کند:
(1-20)(k ?A/(?X_1 )+? ?A/(?T_1 ))=0
براي اين منظور متغير جديدي را تعريف ميکنيم:
(1-21)X ?=X_1-C_g T_1
که C_g=d?/dt سرعت گروه است. پس ميتوان دامنه را به صورتA(X ?,X_2,T_2 ) تعريف کرد. حال به سراغ مرتبه ?^3 ميرويم.
(1-22) (?^2/(?x^2 )-?^2/(?t^2 )-?) ?^((3) )-2i(k ?A/(?X_1 )+? ?A/(?T_1 ))exp(i?)-[(1-c_g^2 ) (?^2 A)/(?X ?^2 )+3?A^2 A^* ]exp(i?)-?A^3 exp(3i?)+c.c.
در اين معادله جمله شامل ?^((2) ) با توجه به (1-21) صفر شده است. در طرف راست رابطه بالا به جز جمله شامل exp(3i?)، ساير جملههاي exp(i?) با همان استدلال بالا بزرگ خواهند شد و براي t>?^(-1) تئوري اختلال کاربرد خود را از دست ميدهد. براي جلوگيري از اين امر بايد ضرايب exp(i?) صفر شوند:
(1-23)(1-c_g^2 ) (?^2 A)/(?X ?^2 )+3?A^2 A^*+2i(k ?A/(?X_2 )+? ?A/(?T_2 ))=0
ميتوان معادله بالا را براي هر کدام از X_2 و T_2 به طور مجزا در نظر گرفت. اگر رابطه را بر حسب زمان بنويسيم:
(1-24)(?^2 A)/(?X ?^2 )+3??^2 ?^(-1) A|A|^2+2i?^2 ?^(-1) ?A/(?T_2 )=0
اين رابطه همان معادله NLS است. دامنه A ترکيب دو قسمت حقيقي و موهومي است و اگر قسمت موهومي آنرا جدا کنيم يعني:
(1-25)A(X ?,T_2 )=a(X ?,T_2 )exp[i?(X ?,T_2 )]
که در آن aو ? حقيقي هستند، داريم:

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

(1-26)?^((1) )=2a(X ?,T_2 ) cos?[kx-?t+?(X ?,T_2 )]
که 2a(X ?,T_2 ) دامنه حقيقي کند تغيير و ?(X ?,T_2 ) فاز کند تغيير است که از دادههاي اوليه مسئله بدست ميآيند. حل تک ساليتوني2 (1-24) به فرم زير است:
(1-27)A=a?(2??) exp[i?] sec?h[a(x-bt)]
که ?=1/2 bx-(1/4 b^2-a^2 )t
aو b ثابتهاي اختياري هستند شکلهاي 1-2 و 1-3. [4و5و6]
شکل 1-2 جواب ساليتوني معادله NLS
شکل 1-3 جواب پوش ساليتوني معادله NLS
معادله ديفرانسيل (1-5) را به صورت زير در نظر بگيريد:
(1-28)i ?U/??+P (?^2 U)/(??^2 )+Q|U|^2 U=0
اين معادله پاسخي به صورت زير دارد:
(1-29)U=U ?e^(iQ|u ? |^2 )+c.c.
که در آن U ? دامنه است و به صورت زير بسط داده ميشود:


پاسخ دهید