ذرات بيضي‌گون 65
منابع و مآخذ 66
چكيده انگليسي67
فهرست جداول
عنوانصفحه
جدول (2-1) مقدار عناصر قطبش‌پذير در مرتبه‌ي دوم فركانس مجموع پراكندگي از يك كره با شعاع و پذيرفتاري 33
جدول (2-2) مقادير نوعي پارامترهايي كه چند فرايند پراكندگي را توصيف مي‌كنند36
جدول (3-1) قوانين انتخاب براي عناصر در پراكندگي با سهم قطبش متفاوت 48
جدول (3-2) مقادير ممكن براي انتگرال 53
جدول (3-3). تابع‌هاي پراكندگي براي ذرات بيضي گون با چند جمله‌هاي از و و 56
جدول (الف-1). تابع‌هاي پراكندگي براي ذرات استوانه‌اي با طول L و شعاع D و ذرات كروي با شعاع R 64
جدول (ب-1). تابع‌هاي پراكندگي براي ذرات كوچكتر در محدوده و 65

فهرست اشكال
عنوانصفحه
شكل 1-1: دو قطبي الكتريكي بنيادي الف) همسويي با ميدان ب) نيروي وارد بر دو قطبي كه در راستاي ميدان الكتريكي است. 6
شكل (1-2)پاسخ نوعي غيرخطي (الف) و خطي (ب) قطبيدگي P به ميدان الكتريكي اعمال شده E براي ميدان‌هاي مثبت و منفي برابر، پاسخ محيط اپتيكي در وضعيت غيرخطي متقارن نيست. در اين مورد ميدان منفي قطبيدگي بزرگتري نسبت به ميدان مثبت با بزرگي يكسان بوجود مي‌آورد 10
شکل(1-3) الف) هندسه توليد هماهنگ دوم ب) نمودار تراز – انرژي كه توليد هماهنگ دوم را توصيف مي‌كند.12
شکل1-4 توليد هماهنگ دوم در بلور KDP و در يک فيبر شيشه اي و در يک کاواکي از ليزر 13
شكل (1-5): توليد بسامد مجموع الف) هندسه برهم كنش ب) توصيف تراز – انرژي15
شكل (2-2) الف) هندسه پراكندگي با پارامترهاي مرتبط ب) سطح قياسي32
شكل (2-3) مثالي از تقريب WKB در منطقه تيره فاز موج تغيير كرده است 34
شكل (2-4) پراكندگي خودبه‌‌خودي نور الف) وضعيت آزمايش ب) طيف مشاهده شده نوعي35
شكل (2-5) طرحي براي پراكندگي ريلي هماهنگ دوم بوسيله يك كره37
شكل 3-1: الف) هندسه پراكندگي يك ذره (آنسامبلي از ذرات) تحت دو باريكه كه با هم زاويه مي‌سازند ب) سيم‌هايي مختصات () و مربوط به تانسور و 42
شكل (4-1) (منحني آبي) الگوهاي پراكندگي توليد بسامد مجموع (پيكربندي PPP) براي بيضي و عناصر سطح براي و و و زاويه‌ي چرخش 0 و 30 و 60 و 90 درجه59
شكل (4-2) الگوي پراكندگي براي آنسامبلي از بيضي‌گون در سيستم‌هاي پروليت و آبليت با نسبت ظاهري متفاوت. در پروليت از آبي تا قرمز نسبت ظاهري از تا افزايش مي‌يابد. در آبليت از تا كاهش مي‌يابد60
شكل (4-3) مقايسه الگوهاي پراكندكي اشكال متنوع a. كره b. استوانه c. چند وجهي d. اسب كه سطح‌هاي آنها برابر سطح يك كره به شعاع nm500 است. كره: منحني مشكي، استوانه: منحني خط‌چين مشكي چند وجهي: منحني خاكستري اسب: منحني خط‌چين خاكستري 61

مقدمه:
پديده‌هاي بسيار كاربردي در محيط‌هاي غيرخطي اپتيكي رخ مي‌دهد كه از جمله‌ي اين پديده‌ها توليد هماهنگ دوم و فركانس مجموع است كه در اين رساله به طور خاص به الگوي پراكندگي اين دو پديده‌ براي اشكال با شكل دلخواه اشاره شده است كه براي بيان بهتر اين موضوع ابتدا اپتيك غيرخطي به صورت مختصر توضيح داده شده است و از آنجايي كه براي بدست آوردن الگوي پراكندگي نيازمند محاسبه شدت هستيم و براي محاسبه شدت پراكندگي نيازمند پذيرفتاري موثر هستيم. بعد از بيان اپتيك غيرخطي پذيرفتاري موثر شرح داده شده است و سپس وارد مسئله اصلي كه بيان الگوي پراكندگي است شده‌ايم.

فصل اوّل:
اپتيك غيرخطي
مقدمه:
اگر تمامي پديده‌هاي فيزيكي اطراف ما خطي بودند، هم فيزيك خسته كننده بود و هم زندگي بدون مشاهده بسياري جذابيت‌ها سپري مي‌شد. خوشبختانه ما در يك دنياي غيرخطي زندگي مي‌كنيم. البته به خاطر داشته باشيم كه همان‌طور كه خطي بودن فيزيك را جذاب مي‌كند غيرخطي بودن نيز فيزيك را زيباتر مي‌كند]1[.
پديده‌هاي اپتيك خطي در محيط خطي رخ مي‌دهند و در مقابل آن پديده‌هاي اپتيك غيرخطي در محيط غيرخطي رخ مي‌دهند اگر ويژگي‌هاي اصلي اين دو محيط به دنبال هم بيان شوند به درك بهتري راجع به محيط غيرخطي خواهيم رسيد. به همين علت ما در اينجا پس از بيان تاريخچه توضيح مختصري راجع به اين دو محيط مي‌دهيم و سپس به صورت تخصصي‌تر وارد مباحث مربوط به اپتيك غيرخطي مي‌شويم.
تاريخچه:
اولين بار در سال 1961 ميلادي، آزمايشي كه فرانكين1 و وين ريچ2 در دانشگاه ميشيگان انجام دادند. نشان داد كه اگر نور با طول موج به بلور كوارتز تابانده شود نوري با طول موج خارج مي‌شود و اين آزمايش در واقع تولد اپتيك غيرخطي به حساب مي‌آيد. در واقع اين پديده مشاهده تولد هماهنگ دوم3 است اين آزمايش روشي در بدست آوردن تابش‌هاي همدوس با توان بالا است كه در آن مي‌توان طول موج كوتاهتر به دست آورد. چشمه‌ي نور معمولي براي چنين آزمايش‌هايي خيلي ضعيف است. در كل ميداني در حدود يك اثر غيرخطي در محيط القا مي‌كند كه اين ميدان متناظر با باريكه‌اي به شدت تقريبي است. كه به همين دليل براي مشاهده هماهنگ دوم باريكه ليزر به كار مي‌رود ]1[. در كل بيشترين مطالعه روي اين موضوع از قرن بيستم و بعد از آن صورت گرفته است.
1-1- ويژگي‌هاي محيط خطي
الف) اصل برهم نهي در اين محيط صادق است: مي‌دانيم نور يك موج الكترومغناطيس است براي اينكه اثرات تركيب (برهم نهي) را به درستي متوجه شويم بايد برايند بردار موج را در يك نقطه از فضا كه در آن دو جابه‌جايي مستقل و با هم وجود دارند دقيقاً تعيين كنيم
(1-1) ما مي‌توانيم اصل برهم نهي را به بيان ديگر نيز ذكر كنيم. به اين صورت تعريف مي‌شود كه اگر و جوابهاي مستقل معادله موج آنگاه تركيب خطي نيز يك جواب معادله است.
در واقع از آنجايي كه امواج الكترومغناطيس داراي ميدان الكتريكي و ميدان مغناطيسي مي‌باشند برهم نهش اين امواج را به صورت زير نيز مي‌توان بيان نمود
(1-2) ب) فركانس نور زماني كه به محيط خطي وارد مي‌شود، به هنگام خروج از اين محيط، تغيير نمي‌كند.
مثال:
ج) در محيط خطي نوري، نور ديگر را تقويت نمي‌كند و باريكه نور در محيط خطي برهم كنش نمي‌كنند.
د) هر محيط خطي داراي يك ضريب شكست است كه تغيير نمي‌كند و به شدت نور بستگي ندارد و فقط با سرعت نور سازگار است.
1-2- ويژگي‌هاي محيط غيرخطي
الف) اصل بر هم نهي صادق نيست
ب) فركانس نور زماني كه به يك محيط غيرخطي وارد مي‌شود، به هنگام خروج از اين محيط تغيير مي‌كند
مثال:

ج) دو باريكه نور در محيط غيرخطي مي‌توانند با يكديگر آميخته شوند و يكديگر را تقويت كنند كه در اين مرحله مي‌گوييم اختلاط صورت گرفته است.
د) در محيط‌هاي غيرخطي ضريب شكست تغيير مي‌كند و به شدت نور بستگي دارد.
1-3- قطبيدگي محيط خطي و محيط غيرخطي
پديده‌هاي غيرخطي در نهايت از ناتواني دو قطبي‌هاي محيط اپتيكي براي پاسخ خطي به ميدان متناوب‌ Eي وابسته به باريكه نور ناشي مي‌شوند هسته‌هاي اتمي و الكترونهاي دروني به ترتيب سنگين‌تر و مقيدتر از آن هستند كه به ميدان متناوب E در بسامد نور (حدود تا ) پاسخ دهند. بنابراين الكترونهاي بيروني اتم‌هاي ماده عمدتاً باعث قطبش محيط اپتيكي توسط ميدان Eي باريكه مي‌شوند. وقتي نوسان‌هاي اين الكترونها در پاسخ به ميدان كوچك باشند قطبيدگي متناسب با ميدان E است، كه توضيح اين تناوب را كامل بيان مي‌كنيم.
اعمال ميدان در محيط منجر به انتقال كوچك ابر الكتروني نسبت به هسته‌ي آن مي‌شود و يك دو قطبي القايي بوجود مي‌آورد. گشتاور دو قطبي P ناشي از هر اتم يا مولكول با حاصل ضرب بار جابه‌جا شده q و فاصله موثر بين بارهاي مثبت و منفي تعيين مي‌شود و يا جهت گشتاور دو قطبي
(1-3)

از بار منفي به بار مثبت است بزرگي گشتاور دو قطبي در يك ماده معين بستگي به اين دارد كه بار تحت تأثير يك ميدان الكتريكي معين تا چه اندازه آسان جابه‌جا شود. آنگاه قطبيدگي P براي

شكل 1-1: دو قطبي الكتريكي بنيادي الف) همسويي با ميدان ب) نيروي وارد بر دو قطبي كه در راستاي ميدان الكتريكي است.
اين محيط بنا به تعريف عبارت است از مجموع گشتاورهاي دو قطبي در واحد حجم:
(1-4) كه در آن N تعداد دو قطبي‌ها در واحد حجم و e قدرمطلق بار الكترون است.
الكترونها طوري رفتار مي‌كنند كه انگار نيروهاي مقيد كننده آنها به هسته‌ها نيروي كشساني هستند، كه با قانون هوك داده مي‌شوند، كه در آن نيروي باز گرداننده متناسب با جابه‌جايي و در جهت خلاف آن است. هسته‌هاي سنگين‌تر را مي‌توان ساكن گرفت، زيرا اين هسته‌ها نمي‌توانند به تغييرات سريع ميدان موج الكترومغناطيسي در ناحيه اپتيكي طيف پاسخ دهند. بنابراين مي‌توان از الگوي ساده‌اي استفاده كرد كه در آن الكترونها با نيروهاي فنر گونه به هسته ثابت مقيد مي‌شوند. اما در ميدان الكتريكي متناوب، نوسان‌هاي واداشته الكترونها مقدار مشخصي انرژي، شامل انرژيي كه الكترونها به نوبه خود تابش مي‌كنند و انرژي برهم كنش با اتم‌هاي مجاور كه به صورت گرما ظاهر مي‌شود، از تابش فرودي مي‌گيرند. بنابراين الگويي كه براي الكترون‌هاي نوسان كننده به كار مي‌رود يك نوسانگر هماهنگ ميرا با نيروي اصطكاكي متناسب با سرعت است. بدين ترتيب، قانون دوم نيوتن در شكل (1-1) منجر به معادله زير مي‌شود:
(1-5) كه در آن K ثابت نيروي فنر موثر، m جرم الكترون و يك ثابت اصطكاك با بعد عكس زمان است. توجه كنيد كه نيروي روي الكترون ناشي از ميدان مغناطيسي تابش را بيان نكرده‌ايم. در واقع اين نيرو در مقايسه با نيروي (eE) ناشي از ميدان الكتريكي قابل چشم‌پوشي است. وقتي ميدان اعمال شده E ثابت است، دو قطبي‌ها نوسان نمي‌كنند و در نتيجه هم سرعت و هم شتاب الكترون صفر است. در اين مورد خاص معادله (1-5) به صورت زير در مي‌آيد
(1-6) و با حذف r و با استفاده از معادله (1-4) قطبيدگي ايستايي با رابطه زير داده مي‌شود.
(1-7) اكنون فرض كنيم E ميدان يك موج هماهنگ است كه وابستگي زماني آن با داده مي‌شود و نوسانها با وابستگي مشابهي يعني پاسخ مي‌دهند. با جاگذاري مشتق‌هاي و در معادله (1-5) نتيجه مي‌گيريم كه
(1-8) كه وقتي در معادله (1-4) جايگذاري كنيم قطبيدگي وابسته به زمان زير را بدست مي‌آوريم
(1-9) توجه كنيم كه معادله (1-9) در مورد ميدان Eي ايستا، كه با شرايط و مشخص مي‌شود، با معادله (1-7) توافق دارد. در تمام موارد ديگر، قطبيدگي تابعي از بسامد تابع است و چون ضريب E مختلط است قطبيدگي مي‌تواند، چنانچه خواهيم ديد فاز وابسته به بسامد نسبت به E داشته باشد. ميدان E در معادله (1-9) بايد نمايشگر ميدان واقعي در دو قطبي در داخل محيط باشد. اين ميدان موضعي برهم نهش ميدان اعمال شده و ميدان ناشي از تمام دو قطبي‌هاي همسوي ديگر در محيط قطبيده است. مي‌دانيم
(: ميدان ناشي از دو قطبي است)
(1-10) اگر علامت E را براي ميدان اعمال شده به كار ببريم و معادله (1-10) را در معادله (1-9) جايگذاري كنيم، بدست مي‌آوريم
(1-11) در اين معادله P دوبار ظاهر شده است. اما مي‌توانيم معادله را صريحاً براي P حل كنيم اگر مقدار پرانتز اول معادله (1-11) را با F نشان دهيم، نتيجه مي‌گيريم كه
(1-12)
(1-13) بدين ترتيب براي ضريب E داريم
(1-14) با تعريف كميت داخل پرانتز به صورت يعني
(1-15) كه اين مقدار داخل پرانتز از جنس فركانس است.
معادله (1-13) به صورت زير در مي‌آيد.
(1-16) مقدار داخل پرانتز كه برابر است با قطبش وقتي ميدان ثابت نيست، يك كميت مختلط است. كه يك قسمت حقيقي دارد و يك قسمت موهومي
(1-17) توجه داشته باشيم كه قسمت موهومي مربوط به قسمت اتلاف است. و زماني كه از رابطه‌ي (1-16) اندازه بگيريم، در نتيجه خواهيم داشت ]2[.
(1-18) همانطور كه بيان كرده‌ بوديم، بدست آورديم كه قطبيدگي متناسب با E است. اما وقتي ميدان E با شدت باريكه افزايش مي‌يابد، تناسب دقيق شروع به خراب شدن مي‌كند، درست همانطور كه نوسان‌هاي هماهنگ يك فنر ساده با افزايش دامنه نوسان دائماً ناهماهنگ‌تر مي‌شوند. وسيله ديگري براي برانگيختن رفتار غيرخطي بدون استفاده از شدت‌هاي زياد باريكه انتخاب بسامد اپتيكي برانگيزنده نزديك به بسامد تشديد دو قطبي‌هاي نوسان كننده است، و اين فني است كه به طور گسترده‌اي در طيف نمايي غيرخطي4 به كار برده مي‌شود و آن را تقويت تشديدي5 مي‌نامند ]2[.
قطبيدگي محيط خطي ناشي از ميدان الكتريكي E به صورت زير نوشته مي‌شود
(1-19) كه در آن پذيرفتاري و گذردهي خلأ است. و در مقابل آن براي محيط غيرخطي رابطه ميان P و به صورت زير نمايش داده مي‌شود. در واقع پاسخ نوري غيرخطي را با تعميم رابطه (1-19) از طريق بسط قطبش برحسب توان‌هاي قدرت ميدان به صورت زير توصيف مي‌كنيم.6
(1-20)
(1-21) اگر تابعيت زماني و را در نظر نگيريم.

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

(1-22) در رابطه‌ي (1-20) و به ترتيب پذيرفتاري نوري غيرخطي مرتبه‌ي دوم و سوم ناميده مي‌شود. در بخش‌هاي بعدي نشان خواهيم داد كه يك تانسور مرتبه‌ي دوم، يك تانسور مرتبه سوم و … است. دقت كنيد كه در اين روابط فرض كرده‌ايم كه قطبش در زمان t تنها به مقدار لحظه‌اي قدرت ميدان الكتريكي بستگي دارند. به طور كلي پذيرفتاري غيرخطي بستگي به بسامد ميدان الكتريكي اعمال شده دارند امّا با فرض پاسخ لحظه‌اي آنها را مقادير ثابت فرض كرده‌ايم ]4[.

(1-23)
كه در آن شاخص‌هاي پايين با توان‌هاي E جور هستند و بزرگي زياد شونده جمله‌هاي مرتبه‌هاي بالاتر را نشان مي‌دهند. ضرايب پذيرفتاري خطي و غيرخطي خواص اپتيكي محيط را مشخص مي‌كنند و اين رابطه بين P و E پاسخ محيط اپتيكي به ميدان را كاملاً مشخص مي‌كند ]2[.

ب) غيرخطيالف) خطي
شكل (1-2)پاسخ نوعي غيرخطي (الف) و خطي (ب) قطبيدگي P به ميدان الكتريكي اعمال شده E براي ميدان‌هاي مثبت و منفي برابر، پاسخ محيط اپتيكي در وضعيت غيرخطي متقارن نيست. در اين مورد ميدان منفي قطبيدگي بزرگتري نسبت به ميدان مثبت با بزرگي يكسان بوجود مي‌آورد ]2[ و ]3[.

در انتهاي مبحث محيط‌هاي خطي و غيرخطي سوالي كه در ذهن ما پيش مي‌آيد اين است كه: آيا همه محيط‌ها اساساً غيرخطي هستند؟ پاسخ اين سوال مثبت است. حتي در مورد خلأ فوتون‌ها مي‌توانند تحت قطبش خطي بر هم‌كنش داشته باشند به عنوان مثال براي پراكندگي فوتون – فوتون و ديگر اثرات غيرخطي در خلأ براي بررسي محيط به عنوان غيرخطي به مشكلات زيادي برمي‌خوريم و در عمل براي راحت‌تر شدن محيط مربوطه را خطي در نظر مي‌گيريم و بررسي مي‌كنيم ]1[.
1-4- برآورد ساده‌اي از اندازه كميت پذيرفتاري
در بخش‌هاي بعدي چگونگي محاسبه مقادير پذيرفتاري غيرخطي در سازوكار فيزيكي مورد نظر كه منجر به رفتارهاي غيرخطي مي‌شوند را خواهيم داشت. فعلاً برآورد ساده‌اي از اندازه اين كميت‌ها براي حالت عمومي كه رفتارهاي غيرخطي ماهيت الكتروني دارند را ارايه مي‌دهيم.
براي مثال، آرمسترانگ7 و همكارانش (1962) هنگامي كه دامنه ميدان اعمال شده E از مرتبه قدرت ميدان الكتريكي اتمي ويژه كه در آن -e بار الكترون و شعاع بور اتم هيدروژن ( ثابت پلانك تقسيم بر و m جرم الكترون است) است، اين انتظار هست كه پايين‌ترين مرتبه تصحيح يعني بايد قابل مقايسه با پاسخ خطي باشد. به طور عددي مقدار است. لذا انتظار داريم تحت شرايط برانگيزش غيرتشديدي، پذيرفتاري مرتبه دوم از مرتبه باشد. براي مواد چگال، از مرتبه يك است. و لذا انتظار داريم كه از مرتبه باشد و يا آنكه
(1-24) به طريق مشابه انتظار داريم كه از مرتبه باشد كه براي مواد چگال از مرتبه زير است.
(1-25) اين مقادير به مقادير اندازه‌گيري شده در تجربه نزديك هستند. در حقيقت اين پيش‌بيني‌ها كاملاً درست‌اند.
1-5- توليد هماهنگ دوم
فرايند توليد همانگ دوم كه به طور طرح‌وار در شكل (1-3) نشان داده شده است را معرفي مي‌كنيم. در اين شكل، يك باريكه نور ليزر كه قدرت ميدان الكتريكي آن به صورت
(1-26) نمايش داده مي‌شود به بلوري كه پذيرفتاري مرتبه دوم غيرصفر دارد مي‌تابد. قطبش غيرخطي كه در چنين بلوري ايجاد مي‌شود بر طبق معادله (1-20) به صورت و يا به صورت
(1-27)

شکل(1-3) الف) هندسه توليد هماهنگ دوم ب) نمودار تراز – انرژي كه توليد هماهنگ دوم را توصيف مي‌كند.

نوشته مي‌شود. مشاهده مي‌كنيم كه قطبش مرتبه دوم شامل يك قسمت در بسامد صفر (جمله اول) و يك قسمت در بسامد (جمله دوم) است. بر طبق معادله موج در يك محيط نوري غيرخطي كه به صورت زير است
(1-28) قسمت دوم منجر به توليد تابش با بسامد هماهنگ دوم مي‌شود. در حالي كه قسمت اول معادله (1-27) منجر به توليد تابش الكترومغناطيس نمي‌شود (زيرا مشتق زماني مرتبه دوم آن صفر است). اين قسمت منجر به فرآيندي به نام يكسوسازي نوري8 مي‌شود كه در آن ميدان الكتريكي ايستايي در داخل بلور غيرخطي توليد مي‌شود.
تحت شرايط تجربي مناسب بازده فرايند توليد هماهنگ دوم مي‌تواند به نحوي باشد كه تقريباً تمام توان تابش فرودي در بسامد به تابش هماهنگ دوم با بسامد تبديل شود. يكي از كاربردهاي عام توليد هماهنگ دوم تبديل خروجي يك ليزر فركانس ثابت به محدوده طيفي ديگري است. براي مثال ليزر Nd:YAG در مادون قرمز نزديك و در طول موج كار مي‌كند. توليد هماهنگ دوم به طور عادي مورد استفاده قرار مي‌گيرد تا طول موج تابش به در ميانه طيف مرئي، تبديل شود.
مي‌توان توليد هماهنگ دوم را با در نظر گرفتن بر هم كنش برحسب معاوضه فوتون‌‌ها بين اجزا ميدان با فركانس‌هاي متفاوت تجسم كرد. براساس اين تصوير كه در قسمت (ب) شكل
(1-3) نمايش داده شده است، در يك فرايند مكانيك كوانتومي و به طور همزمان دو فوتون با بسامد نابود مي‌شوند اين ترازها، ويژه ترازهاي انرژي اتم آزاد نيستند. بلكه بيشتر تركيب انرژي يكي از ويژه حالت‌هاي انرژي اتم با يك يا چند فوتون ميدان تابشي را نشان مي‌دهند]4[.
هماهنگ دوم اپتيكي را به روش‌هاي مختلف كه در شكل (1-4) به سه مورد آن اشاره شده است.

شکل1-4 توليد هماهنگ دوم در بلور KDP و در يک فيبر شيشه اي و در يک کاواکي از ليزر]3[.
1-6- توليد بسامد مجموع و بسامد تفاضل
حال وضعيتي را بررسي مي‌كنيم كه ميدان نوري كه به يك محيط نوري غيرخطي با پذيرفتاري مي‌تابد شامل دو مولفه بسامدي مجزا است.
(1-29) طبق فرضي كه در معادله (1-20) شد، سهم مرتبه دوم قطبش غيرخطي به صورت زير است.
(1-30) در نتيجه خواهيم داشت
(1-31)
كه معادل رابطه‌ي زير است.
(1-32) كه جمع بر روي تمام بسامدهاي مثبت و منفي انجام مي‌شود. بنابراين دامنه موهومي بسامدهاي مختلف قطبش به صورت زير است.
(1-33)
(SHG) توليد هماهنگ دوم
(SHG) توليد هماهنگ دوم

(SFG) توليد بسامد مجموع 9
(DFG) توليد بسامد تفاضل 10
(OR) يكسوسازي نوري 11
بر طبق نمادگذاري موهومي‌مان، كه پاسخ‌اي نيز در منفي هر يك از بسامدهاي غيرصفري كه در بالا آمد، وجود دارد.
(1-34)
چون هر يك از اين كميت‌ها مزدوج موهومي كميت‌هاي معادله (1-33) هستند. لازم نيست هر دو مولفه‌هاي بسامدي مثبت و منفي به طور صريح و روشن در نظر گرفته شوند.
بر طبق معادله زير، دامنه موهومي قطبش غيرخطي كه فرايند توليد بسامد مجموع را توصيف مي‌كند.
(1-35) از بسياري جهات، فرايند توليد بسامد مجموع مشابه با توليد هماهنگ دوم است. به جز آنكه در توليد بسامد مجموع، دو موج ورودي بسامدهاي متفاوتي دارند ]4[.

شكل (1-5): توليد بسامد مجموع الف) هندسه برهم كنش ب) توصيف تراز – انرژي
1-7- معادلات ماكسول در محيط‌هاي غيرخطي
همه پديده‌هاي الكترومغناطيسي به وسيله معادلات ماكسول قابل توصيف هستند. ميدان الكتريكي و ميدان مغناطيسي

(1-36)
كه در آن و چگالي بار و جريان مي‌باشند، كه با رابطه زير با هم در ارتباط هستند.
(1-37) مي‌توانيم به صورت زير تحت سري‌اي از چند قطبي‌ها بسط دهيم.
(1-38)
(1-39) كه در آن P و M و Q به ترتيب قطبش الكتريكي، قطبش مغناطيسي، قطبش چهار قطبي الكتريكي و ….
داريم
(1-40) كه در آن چگالي جريان dc است و از دو قطبي‌هاي مغناطيسي و چند قطبي‌هاي ديگر صرفه نظر شده است.
(1-41)
(1-42)
(1-43)
(1-44) در كل P تابعي از E است و اغلب با يك معادله ساختاري مشخص مي‌شود.
اگر تنها با كمك معادلات ساختاري مي‌توانستيم دستگاه معادلات ماكسول را با در نظر گرفتن شرايط مرزي حل كنيم همه پديده‌هاي اپتيكي قابل پيش‌بيني بودند. امّا متأسفانه اين امر به ندرت امكان‌پذير است. به وسيله تقريب‌هاي فيزيكي و به كمك راه‌حل‌هاي رياضي معادلات را حل مي‌كنيم. P يك تابع غيرخطي پيچيده از E است. در حالت خطي
(1-45) پذيرفتاري خطي است. اگر E يك موج تكفام به صورت زير باشد.
(1-46) سپس با تبديل فوريه
(1-47) و
(1-48) رابطه‌ي ثابت دي‌الكتريك خطي با به صورت زير است.
(1-49) در تعريف دو قطبي الكتريكي مستقل از r است. و و هر دو مستقل از K هستند.
در حالت غيرخطي زماني كه E به اندازه كافي ضعيف باشد قطبش P كه تابعي از E است را حول مقادير E بسط مي‌دهيم.
(1-50)
پذيرفتاري غيرخطي مرتبه‌ي n است. اگر E را بتوان گروهي از امواج تكفام در نظر گرفت
(1-51) در حالت خطي، با تبديل فوريه رابطه‌ي (1-50) به صورت زير مي‌شود.
(1-52) با
(1-53)
(1-54)
(1-55) و
(1-56)
در تقريب دو قطبي الكتريكي ، مستقل از r حالت و مستقل از k است. ويژگي‌هاي پذيرفتاري غيرخطي و خطي با توجه به خاصيت‌هاي محيط مربوطه مشخص مي‌شوند]1[.

فصل دوّم:
مفهوم پذيرفتاري موثر در اپتيك غيرخطي

مقدمه
همانطور كه در فصل اول ديديم قطبش P، تابعي از ميدان است كه عاملي كه در تابعيت ميدان ضرب مي‌شود، پذيرفتاري است. پس ما بايد ابتدا مفهوم پذيرفتاري را بيان كنيم و سپس پذيرفتاري موثر را براي حالت خاصي كه مورد بررسي ما است بيان كنيم كه بتوانيم به كمك پذيرفتاري دقيقي كه بدست مي‌آوريم ميدان مربوطه را محاسبه و به وسيله ميدان، شدت پراكندگي را براي حالت‌هاي مورد نظر محاسبه كنيم.
2-1- پذيرفتاري غيرخطي
برهم‌كنش‌هاي نوري غيرخطي را فقط براي سيستم‌هاي مادي بدون اتلاف و بدون پاشيدگي مي‌توان برحسب قطبش غيرخطي معادله ( 1-22) توصيف نمود. در اينجا حالت عمومي‌تري كه در آن ماده پاشنده داراي اتلاف است را بررسي مي‌كنيم. در حالت كلي پذيرفتاري غيرخطي كميتي موهومي است كه دامنه‌هاي موهومي ميدان الكتريكي و قطبش را به هم ربط مي‌دهد.
فرض مي‌كنيم كه بتوان بردار ميدان الكتريكي موج نوري را به صورت مجموع گسسته‌اي از تعدادي مولفه‌هاي بسامد نوشت.
(2-1) علامت پريم روي جمع معادله (2-1) مشخص كننده آن است كه جمع بايد تنها روي بسامدهاي مثبت انجام شود. اغلب راحت‌تر است كه به صورت مجموعي از قسمت‌هاي بسامد مثبت و بسامد منفي آن بنويسيم.
(2-2) كه
(2-3)
و
(2-4) با اين شرط كه مزدوج باشد، مطمئن مي‌شويم كه معادله حقيقي خواهد بود زيرا اين كميت نشان دهنده يك ميدان فيزيكي است. هم‌چنين بهتر است كه دامنه فضايي كند تغيير را با رابطه زير تعريف كنيم.
(2-5) بنابراين مي‌توان ميدان الكتريكي كل معادله (2-1) را برحسب اين دامنه‌هاي ميدان با يكي از دو عبارت زير نشان داد
(2-6) گاهي اوقات، اين دامنه‌هاي ميدان را با استفاده از نمادگذاري ديگري نيز نشان مي‌دهند.
(2-7) شرط حقيقي بودن معادله (2-4) برحسب اين نگارش به صورت زير است.
(2-8) يا با استفاده از اين نگارش جديد مي‌توانيم ميدان كل را به شكل فشرده‌تر زير بنويسيم.
(2-9) كه جمع بدون پريم بيانگر جمع بر روي تمام بسامدهاي مثبت و منفي است.
توجه كنيم كه طبق تعريف از دامنه ميدان، ميدان
(2-10) برحسب دامنه‌هاي موهومي ميدان به صورت
و
و برحسب دامنه‌هاي كند تغيير به صورت
و
نمايش مي‌يابد در هر يك از دو نمايش ضرايب به اين دليل ظاهر مي‌شوند كه دامنه ميدان فيزيكي به طور مساوي بين مولفه‌هاي مثبت و منفي تقسيم شده است.
با استفاده از نگارش جديد مي‌توان قطبش غيرخطي را به صورت زير نوشت.
(2-11) كه همانند قبل جمع روي تمام مولفه‌هاي بسامد مثبت و منفي انجام مي‌شود.
مولفه‌هاي پذيرفتاري مرتبه‌ي دوم را به صورت ثابت‌هاي تناسبي كه دامنه قطبش غيرخطي را طبق رابطه زير به حاصل‌ضرب دامنه‌هاي ميدان ربط مي‌دهند، تعريف مي‌كنيم.
(2-12) انديس‌هاي اشاره به مولفه‌هاي دكارتي ميدان دارند. علامت مشخص مي‌كند كه در اعمال جمع بر روي n و m با وجود آنكه و هر كدام مي‌توانند تغيير كنند، اما مجموع بايد ثابت بماند. چون دامنه همراه با بستگي زماني و دامنه همراه با بستگي زماني است. حاصل‌ضرب همراه با بستگي زماني خواهد بود. در واقع همان‌طور كه نمادگذاري معادله ايجاب مي‌كند، حاصل ضرب منجر به سهمي در قطبش غيرخطي مي‌شود. كه با بسامد نوسان مي‌كند. به پيروي از اين نمادگذاري، را به صورت تابعي از سه شناسه بسامدي نوشته‌ايم. در عمل نيازي نيست كه شناسه اول را هميشه مجموع دوتاي ديگر در نظر بگيريم. براي تأكيد بر اين واقعيت، پذيرفتاري گاهي اوقات به صورت كه اولين شناسه با دو تاي ديگر متفاوت است نوشته مي‌شود. يا مي‌توان آن را به صورت نمادين نوشت.
2-2- پذيرفتاري غيرخطي در توليد بسامد مجموع
بسامدهاي ميدان ورودي را و و بسامد مجموع را مي‌گيريم به طوري كه پس با اعمال جمع بر روي و در معادله (2-12) بدست مي‌آوريم كه
(2-13) اين رابطه را مي‌توان با استفاده از تقارن جايگشت ذاتي پذيرفتاري غيرخطي ساده كرد.
(2-14) با استفاده از اين رابطه عبارت قطبش غيرخطي به صورت زير مي‌شود.
(2-15) و براي حالت خاصي كه هر دو ميدان ورودي در راستاي x قطبيده باشند. قطبش مي‌شوند
(2-16)2-3- پذيرفتاري غيرخطي در توليد هماهنگ دوم
بسامد ورودي را و بسامد توليد شده را انتخاب مي‌كنيم اگر جمع را روي بسامدهاي ميدان در رابطه (2-12) اعمال كنيم بدست مي‌آوريم كه
(2-17) در حالت خاصي که قطبش ميدان‌هاي ورودي در راستاي x باشد نتيجه مي‌شود
(2-18) توجه كنيد كه يك ضريب 2 در معادلات (2-15)و(2-16) كه توليد بسامد مجموع را نشان مي‌دهد، ظاهر مي‌شود؛ اما در معادلات (2-17)و (2-18) كه توليد هماهنگ دوم را توصيف مي‌كنند، وجود ندارد. اين حقيقت كه عبارت‌ها حتي وقتي كه به نزديك مي‌شود متفاوت خواهند بود، در نگاه اول عجيب به نظر مي‌رسد؛ اما نتيجه‌اي از نمادگذاري ما است. كه بايد هنگامي كه به نزديك مي‌‌شود، به تبديل شود. توجه كنيد كه معادلات و براي موردي با پذيرفتاري غيرخطي ناپاشنده معادله(1-33) در يك ضريب 2 با هم اختلاف دارند. در هر صورت بايد انتظار داشت كه قطبش غيرخطي توليد شده توسط دو ميدان متفاوت بايد بزرگتر از مقدار توليد شده توسط يك ميدان تنها (دو مولفه با دامنه مساوي فرض مي‌شود) باشد، زيرا شدت نور كل در حالت اول بزرگتر است.
در حالت كلي جمع روي بسامدهاي ميدان و رابطه (2-12) را مي‌توان به طور صوري اعمال كرد تا نتيجه زير حاصل شود.
(2-19) كه ضريب تبهگني ناميده مي‌شود و برابر با تعداد جايگشت‌هاي متمايز بسامدهاي و ميدان اعمال شده است.
رابطه‌ي(2-12) كه معرف پذيرفتاري مرتبه‌ي دوم است را مي‌توان به آساني به برهم كنش‌هاي مرتبه‌ي بالاتر تعميم داد. در عمل مولفه‌هاي پذيرفتاري مرتبه‌ي سوم به صورت ضرايبي تعريف مي‌شوند كه دامنه‌ها را طبق رابطه زير به هم ربط مي‌‌دهند.
(2-20)
مجدداً مي‌توانيم جمع داده‌ي m و n و o انجام دهيم تا نتيجه زير را بدست آوريم]4[.
(2-21)
2-4- پذيرفتاري موثر در پراكندگي اپتيك غيرخطي
پاسخ غيرخطي مواد به موج‌هاي الكترومغناطيسي فرودي معمولاً با قطبش غيرخطي قابل توصيف است. اين قطبش با ميدان‌هاي فرودي بوسيله پذيرفتاري غيرخطي در ارتباط است. ميدان‌هاي ورودي به صورت زير در نظر گرفته مي‌شوند.

(2-22) دامنه‌ي ميدان نرده‌اي موج و بردار قطبش واحد ( بر حالت قطبش دلالت دارد) در زمان برهم‌كنش ميدان‌ها با محيط دو اثر وجود دارد كه افزايش قطبش غيرخطي را تعديل مي‌كند.
اول: تصحيح ميدان‌هاي ميكروسكوپيك با توجه بر برهم‌كنش دو قطبي دو‌قطبي صورت مي‌گيرد و دوم: تغيير در ميانگين ميدان‌هاي ميكروسكوپيك با توجه به خواص اپتيكي محيط اولي را مي‌توان بوسيله تصحيح لورنس12 به حساب آورد كه در اينجا ما آن را ناديده مي‌گيريم و اما دومي را مي‌توان بوسيله ضريب نوعي فرنل13 به حساب آورد، كه تصحيح ميدان را بوسيله ذرات توصيف مي‌كند (توجه داشته باشيد كه براي ميدان‌هاي دور بنابراين خواهيم داشت]5[.
(2-23) شكل كلي قطبش غير خطي به صورت زير است، كه اين رابطه را در فصل اول به صورت كامل بدست آورديم.
(2-24) كه شامل برهم‌كنش ميدان‌هاي مغناطيسي موج‌هاي اپتيكي است.


دیدگاهتان را بنویسید