براي محاسبه چگالي حالت در نظر ميگيريم سيستم داراي هاميلتوني با ويژه مقاديرگسسته است. چگالي حالت براي اين سيستم با ويژه مقادير گسسته توسط معادله زير داده ميشود:
(2-1) که انرژي برانگيختگي و تابع دلتاي ديراک است. همچنين در بازه انرژي و داريم:

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

(2-2) که تعداد کل حالات با انرژي کمتر از است ]21[.
نمايش فوريه تابع دلتا به صورت زير است:
(2-3)
نمايش فوريه تابع دلتا را در معادله (2-1) قرار ميدهيم:
(2-4)
در معادله (2-4) ، و را قرار دادهايم.
تابع پارش کانوني در مکانيک آماري ميباشد. اگر هسته برانگيخته را در حال تعادل در نظر بگيريم، نيز معکوس دما ميباشد.
پس اگر تابع پارش را بدست بياوريم ميتوانيم چگالي حالات را با استفاده از معادله (2-4) بدست بياوريم. معادله (2-4) را ميتوان به روش نقطه زيني ساده نمود ]22[. انتگرال معادله (2-4) در داراي کمينهاي است. در نتيجه داريم:
(2-5)

اکنون راحول بسط تيلور ميدهيم:
(2-6)
با استفاده از معادله (2-6) تابع پارش را بدست ميآوريم:
(2-7)
با استفاده از معادلات (2-7) و(2-4) چگالي حالت بدست ميآيد:
(2-8)
با تغيير متغير و رابطه بدست ميآوريم:
(2-9)
که در اين معادله دماي ترموديناميکي سيستم و آنتروپي سيستم ميباشد.
2-2چگالي حالات بر حسب انرژي برانگيختگي و تعداد ذرات
در مبحثي که گذشت چگالي حالت به صورت تابعي از انرژي بدست آمد. در ادامه چگالي حالت را بر حسب انرژي و نيز تعداد ذرات سيستم بدست ميآوريم. بدين ترتيب از تابع پارش بزرگ به جاي تابع پارش استفاده ميکنيم و به همان روشي که بيان کرديم محاسبات را انجام ميدهيم ]23[:
(2-10) که انرژي تراز ،يک سيستم ذرهاي است.
با استفاده از تغيير متغير و
(2-11)
همان تابع آشناي مکانيک آماري،تابع پارش بزرگ است ]24[.
(2-12)
مشابه قبل انتگرال (2-12) داراي کمينهاي در نقطه زيني و است.در نتيجه:
(2-13)
(2-14) مشابه قبل راحول نقطه زيني بسط تيلور ميدهيم و را در انتگرال معادله چگالي تراز قرار ميدهيم:
(2-15)
با استفاده از دو معادله (2-13) و (2-14) جملات سطر دوم و سوم معادله (2-15) حذف ميشوند. همچنين با قرار دادن:
(2-16)
تابع پارش بزرگ را بدست ميآوريم:
(2-17)
اکنون تابع پارش بزرگ را در معادله (2-12) جايگذاري ميکنيم و بدين وسيله چگالي تراز را محاسبه ميکنيم:
(2-18)
با تغيير متغيرهاي ، و خواهيم داشت:
(2-19) با تغيير متغير و خواهيم داشت:
(2-20)
با تغيير متغير خواهيم داشت:
(2-21)
با جايگذاري بدست ميآوريم:
(2-22)
با استفاده از نمايش ماتريسي
(2-23) خواهيم داشت:
(2-24)
در معادله چگالي تراز آنتروپي سيستم، دماي ترموديناميکي سيستم و ميباشد. نيز پتانسيل شيميايي سيستم است ]9[.
هسته سيستمي شامل دو نوع متفاوت ذره (پروتون و نوترون) است. حال ما ميخواهيم سيستم را شامل دو نوع متفاوت ذره (پروتونها و نوترونها) در نظر بگيريم. بنابراين خواهيم داشت:
(2-25)
تعداد شرطهاي نقطه زيني به سه شرط افزايش مييابد:
(2-26)
(2-27)
(2-28)
مشابه قبل را حول نقطه زيني ، و بسط تيلور ميدهيم. و بدين وسيله را بدست آورده و در معادله (2-25) قرار ميدهيم تا چگالي حالت بدست آيد]9[. نتيجه نهايي چنين است:
(2-29)
در اين معادله آنتروپي سيستم ميباشد. با نامگذاري معادله آنتروپي به صورت زير در ميآيد.
(2-30)
در معادله (2-17) دترميناني 3×3 است:
(2-31)
3-2 وابستگي چگالي حالت به تکانه زاويهاي
تا به حال ما وابستگي چگالي تراز به تکانه زاويهاي را در نظر نگرفتهايم. وابستگي به تکانه زاويهاي را ميتوان بر اساس قضيه حد مرکزي17 شرح داد. بر اساس اين نظريه پراکندگي تصوير تکانه زاويهاي بر روي محور گاوسي و داراي مقدار ميانگين صفر است. اين بدين معني است احتمال اينکه تصوير تکانه زاويهاي بر روي محوربراي يک ذره برانگيخته داراي مقدار يا باشد با هم برابر است. همچنين مقدار ميانگين اعداد اشغال حالتهاي نوکلئوني براي و با هم برابر است. پس مقدار ميانگين ، براي حالتهاي نوکلئوني برابر صفر است ]25[. بدين ترتيب داريم:
(2-32)
و را به ترتيب چگالي تراز وابسته به تکانه زاويهاي براي نوترونها وپروتونها در نظر ميگيريم بدين ترتيب خواهيم داشت:
(2-33) اگر راحول بسط دهيم خواهيم داشت:
(2-34)
که است.
پس بدين ترتيب خواهيم داشت:
(2-35)
فرم رياضي تابع تابع گاوسي به صورت زير است:
(2-36)
بدين ترتيب در اين مورد خواهيم داشت:
(2-37)
با مقايسه (2-35) و (2-37) خواهيم داشت:
(2-38)
پس با توجه به معادله (2-32) بدست ميآوريم:
(2-39)
اکنون ما ميتوانيم چگالي تراز داراي تکانه زاويهاي و انرژي را محاسبه کنيم. هر تراز با تکانه زاويهاي برابر يا بزرگتر از داراي يک تصوير به اندازه بر روي محور مختصات فضا است. هر تراز با تکانه زاويهاي برابر يا بزرگتر از داراي يک تصوير به اندازه بر روي محور مختصات فضا است. در نتيجه با تفريق ميان تعداد تصاوير براي تکانه زاويهاي و ، تعداد ترازها براي تکانه زاويهاي بدست ميآيد:
(2-40)
با استفاده از معادله (2-39) و (2-40) خواهيم داشت:
(2-41)
با استفاده از بسط خواهيم داشت:


دیدگاهتان را بنویسید