– اگر R رابطه‌ي هم‌ارزي روي مجموعه A باشد، به كلاس هم‌ارزي a يا كلاس هم‌ارزي R توليد شده توسط a گوييم.
– فرض كنيد U يك مجموعه‌ي مرجع ناتهي باشد. مجموعه‌ي تواني U را با P(U) نمايش مي‌دهيم.
– براي هر ، متمم مجموعه‌ي X را با XC نشان مي‌دهيم، كه به‌صورت UX تعريف مي‌شود.
1-2-2- تعريف [1]
زوج كه در آن و يك رابطه‌ي هم‌ارزي روي U است، يك فضاي تقريب ناميده مي‌شود.
1-2-3- تعريف [1]
فرض کنيد يک فضاي تقريب دلخواه باشد، براي تعريف تقريب ناهموار، نگاشت را تعريف مي‌كنيم، با ضابطه‌‌ي:
مي باشد كه به‌ طوريكه و را تقريب ناهموار پاييني از X در مي‌ناميم و را تقريب ناهموار بالايي از X در مي‌ناميم.
1-2-4- تعريف [1]
براي هر فضاي تقريب ، مجموعه‌ي ناهموار ناميده مي‌شود اگر و تنها اگر براي بعضي از ، .
1-2-5- مثال
فرض كنيد يك فضاي تقريب باشد، به‌طوريكه:
و رابطه‌ي هم‌ارزي با كلاس‌هاي هم‌ارزي زير داده
شده باشد:
اگر يک مجموعه باشد آنگاه و و بنابراين يك مجموعه‌ي ناهموار است.
1-2-6- مثال
فرض كنيد يك فضاي تقريب باشد به طوري كه و رابطه‌ي هم‌ارزي به صورت زير باشد.
اگر I={0.1.2.3.4.6.10.11} باشد آنگاه و .
1-2-7- تعريف [1]
زير مجموعه X از U تعريف‌پذير ناميده مي‌شود اگر .
1-2-8- مثال
اگر همان فضاي تقريب مثال 1-2-6 باشد و باشد آنگاه و بنابراين تعريف‌پذير است.
1-2-9- توجه
اگر با كلاس هم‌ارزي P و ، آنگاه
1- بدين معني است كه x قطعاً در كلاس P قرار دارد.
2- بدين معني است كه x احتمالاً در كلاس P قرار دارد.
(3) بدين معني است كه x قطعاً در كلاس P قرار ندارد.
1-2-10- تعريف
زماني كه ، گوييم A(C) يك زير مجموعه‌ي ناهموار از A(B) است.
فرض كنيد A(C) و A(B) دو مجموعه‌ي ناهموار باشند ، اگر و تنها اگر و .
1-2-11- تعريف
متمم مجموعه‌ي ناهموار A(C) را با نشان مي‌دهيم و به صورت زير تعريف مي‌شود:
همچنين را به صورت زير تعريف مي‌كنيم:
1-2-12- مثال
اگر كلاس‌هاي هم‌ارزي به شرح زير مي‌باشد
و آنگاه داريم:

و نيز داريم:
.
تعاريف و مطالب بيشتر را در فصول بعد حتماً مشاهده كنيد.
1-3- نظريه مجموعه‌هاي فازي روي گروه‌ها و حلقه‌ها
1-3-1- تعريف
فرض كنيد X يك مجموعه ناتهي باشد. يك زير مجموعه فازي از X نگاشتي است مانند .
در اين صورت را مي‌توانيم به عنوان تابعي كه به هر عضو درجه‌اي از عضويت را تخصيص مي‌دهد، در نظر بگيريم.
1-3-2- تعريف
فرض كنيد يك زير مجموعه‌ي فازي از X باشد،
(1) زير مجموعه‌ي تراز عبارتست از:
(2) زير مجموعه‌ي تراز قوي عبارتست از:
(3) برد عبارتست از:
(4) تكيه‌گاه عبارتست از:
1-3-3- تعريف
فرض كنيد و دو زير مجموعه‌ي فازي از X باشند. در اين صورت:
(1) گوييم هرگاه براي هر ،
(2) زير مجموعه‌ي فازي از X است كه به صورت تعريف مي‌شود.
(3) زير مجموعه‌ي فازي از X است كه به صورت زير تعريف مي‌شود:
(4) زير مجموعه‌ي فازي از X است كه به صورت زير تعريف مي‌شود.
1-3-4- تعريف
فرض كنيد G يك گروه باشد. مجموعه فازي روي G يك زير گروه فازي از G ناميده مي‌شود، هرگاه براي همه داشته باشيم:
(1)
(2)
1-3-5- تعريف
فرض كنيد R يك حلقه باشد. مجموعه فازي روي R يك زير حلقة فازي ناميده مي‌شود،هرگاه براي همة داشته باشيم:
(1)
(2)
1-3-6- تعريف
فرض كنيد R يك حلقه باشد. مجموعه فازي روي R يك ايده‌آل فازي ناميده مي‌شود،هرگاه براي همه‌ي داشته باشيم:
(1)
(2)
1-3-7- مثال
فرض كنيد I ايده‌آلي از R باشد فرض اعضايي در باشند پس زيرمجموعه فازي يك ايده‌آل فازي است.
1-3-8- تذكر
اگر ايده‌آل فازي از R باشد داريم:
(1) براي هر كه 0 عنصر هماني جمعي R است.
(2) براي هر اگر داريم همچنين اگر دو ايده‌‌آل فازي از R باشند، هم هست.
1-4- اشتراك‌هاي فازي (t- نرم‌ها)
فرض كنيم B,A دو مجموعه‌ي فازي روي مجموعه ناتهي X باشند و i يك عملكرد دوتايي به صورت باشد مي‌خواهيم براي اشتراك داشته باشيم
1-4-1- تعريف
تابع را يك t- نرم مي‌نامند هرگاه:
(كرانداري)
(يکنوايي) صعودي
(جابه‌جايي)
(شركت‌پذيري)
بسته به موضوع بحث مي‌توان شرايط زير را نيز براي هر t- نرم در نظر گرفت:
پيوسته باشد.
بطوري كه (زير خودتواني)
(يكنوايي اكيد)
1-4-2- نكته
(1) زيرا حالا فرض .
(2) زيرا اگر1 آنگاه پس
1-4-3- مثال‌هايي از اشتراك‌هاي فازي
(1) t- نرم استانده: min (a,b) i(a,b) =
(2) t- نرم حاصل‌ضربي: i(a,b)= a.b
(3) t- نرم تفاضل كراندار:
(4) t- نرم دراستيك:
1-4-4- قضيه
تنها t- نرم خود توان، عملگر اشتراك استانده است.
برهان.
از يك طرف براي هر و از طرف ديگر فرض كنيم كه t- نرم i در شرط خود تواني صدق كند يعني براي هر مي توانيم بنويسيم
و همچنين بنابراين براي هر .
* در ادامه نشان مي‌دهيم كه
1-4-5- تعريف
t- نرم i را ارشميدوسي مي‌نامند هرگاه داراي دو شرط باشد.
1-4-6- قضيه
براي هر داريم:
برهان.
(كران بالا) اگر داريم و همين‌طور براي ، بنابراين .
(كران پايين) اگر 1= b آنگاه اگر 1= a آنگاه و حال اگر پس مي‌توان نوشت:

نشان مي‌دهيم كه .
كه اگر 1= a آنگاه همچنين b= a.b پس و اگر 1=b آنگاه به طريق مشابه .
1-4-7- تعريف
فرض كنيد ، دو t- نرم دلخواه باشند. گوييم ، ضعيف‌تر از يا به عبارت معادل قوي‌تر از است هرگاه I داشته باشيم .
فصل 2
مجموعه‌هاي T- فازي ناهموار
2-1- مقدمه
در بخش 2-2 ابتدا نرم مثلثي و معروفترين نرمهاي مثلثي را معرفي مي‌كنيم و مفاهيمي از آن را بيان مي‌كيم و رابطه دو تايي فازي و T- مشابه و همچنين فضاي تقريب فازي را بيان مي‌كنيم و با استفاده از مطالب گفته شده عملكرد تقريب بالا و پايين و برخي از ويژگي‌هاي آنها را بيان مي‌كنيم. و در نهايت زير گروه‌هايT- فازي را معرفي مي‌كنيم.
در بخش 3-2 ما عملگر تقريب بالايي و پاييني را نسبت به يك زير گروه نرمال T- فازي بيان مي‌كنيم و حاصلضرب مجموعه‌هاي فازي روي يك گروه را معرفي مي‌كنيم.
* در اين فصل منظور از T، t ـ نرم دلخواه است مگر در موارد خاص كه ذكر مي‌شود.
2-2- تقريب بالا و پايين از يك مجموعه‌ي فازي
2-2-1- تعريف
طبق آنچه در فصل قبل گفته شد، يك نرم مثلثي يك عملگر به طوري كه كراندار و متقارن و شركت‌پذير و يكنواست و داراي عضو خنثي 1 است.
2-2-2- تعريف [9]
اگر T يك نرم مثلثي باشد، كه و يک مفهوم کاربردي از T ناميده مي‌شود.
2-2-3- تذكر [9]
از معروف‌ترين نرم‌هاي مثلثي پيوسته عبارتند از T=Min و Tm يا ماكسيمم و يا حاصلضرب كه بصورت‌هاي زير تعريف مي‌شود: اگر.
و همچنين مفهوم‌هاي آنها بصوت زير است:
و
و
2-2-4- تعريف [9]
فرض كنيد A و B به ترتيب زير مجموعه‌هاي فازي از G و H باشند، آنگاه ضرب مستقيم A و B كه با A×B نشان داده مي‌شود، بصورت زير تعريف مي‌شود؛
همچنين اگر X يك مجموعه باشد و يعني زير گروه‌هاي فازي از X باشند، داده بصورت زير تعريف مي‌شود:
2-2-5- توجه
در سرتاسر اين فصل T يك نرم مثلثي پيوسته خواهد بود و VT بصورت V ساده خواهد شد.
2-2-6- قضيه[9]
براي هر ، مفهوم V از يك نرم مثلثي پيوسته داراي ويژگي‌هاي زير مي‌باشد.
(1)
(2) از راست يكنوا است.
(3) از چپ غيريكنوا است.
(4)
(5)
(6) (7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
2-2-7- تعريف [9]
به رابطه‌ي با ضابطه‌ي يك رابطة دوتايي فازي گوييم.
2-2-8- تعريف [9]
فرض كنيد X يك مجموعه و T يك نرم مثلثي پيوسته باشد، آنگاه رابطه‌ي دوتايي فازي R را يك رابطه‌ي T- مشابه ناميم هرگاه براي هر، Rداراي ويژگي‌هاي زير باشد:
(1)
(2)
(3)
در اين صورت (X , R) را يك فضاي تقريب فازي گوييم.
2-2-9- تعريف [9]
فرض كنيد (X, R) يك فضاي تقريب فازي دلخواه باشد. عملگر روي كه بصورت
تعريف مي‌شود، عملگر تقريب بالا براي از (X,R) ناميده مي‌شود. و بطور مشابه عملكرد روي كه به صورت تعريف مي‌شود، عملگر تقريب پايين براي از (X , R) ناميده مي‌شود. و به يك زيرمجموعه‌ Tـ فازي ناهموار گفته مي‌شود.
2-2-10- قضيه [9]
اگر و عملگرها تقريب بالا و پايين باشند، برخي از ويژگي هاي آنها به شرح زير است.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2-2-11- تعريف [8]
فرض كنيد G يك گروه باشد و . اگر A داراي ويژگي‌هاي زير باشد به آن زير گروه T- فازي گوييم.
(1)
(2)
(3)
همچنين اگر علاوه بر ويژگي‌هاي بالا ويژگي زير را نيز دارا باشد، به آن زير گروهT – فازي نرمال گوييم.
(4)
2-2-12- مثال
فرض كنيد يك گروه جمعي باشد و T = min باشد و كه و A يك زير گروه فازي از 6Z است.
2-2-13- تعريف [8]
فرض كنيد G يك گروه باشد و آنگاه AOB بصورت زير تعريف مي‌شود:
همچنين گاهي اوقات بصورت زير نيز بيان مي‌شود.
2-3- تقريب بالا و پايين از يك مجموعه‌ي فازي نسبت به يك زير گروه T- فازي نرمال
در اين بخش، ما حاصلضرت مجموعه‌هاي فازي روي گروه را مطالعه مي‌كنيم.
2-3-1- قضيه
فرض كنيد G يك گروه و B يك زير گروه T- فازي نرمال از G باشد، آنگاه رابطه‌ي دوتايي RB كه بصورت تعريف مي‌شود، يك رابطه‌ي T- مشابه روي G است.
برهان.
(1)
(2)
(3)
بنابراين ما مي‌توانيم عملگر تقريب بالايي را و عملگر تقريب پاييني را نسبت به B در G مطرح كنيم. پس اگر يك مجموعه فازي باشد يك مجموعه فازي ناهموار است.
براي عملگر تقريب بالاي ، در ابتدا لم زير را مطرح مي‌كنيم:
2-3-2- لم
برهان.
2-3-3- لم
اگر B يك زير گروه T- فازي نرمال از گروه G باشد و ، آنگاه و BoB= B.
برهان.
از تغيير متغير استفاده كرديم در نتيجه
همچنين:
طرف اول

(شركت‌پذيري)
(B T – فازي نرمال)=
طرف ديگر
2-3-4- قضيه
فرض كنيد B يك زير گروه T- فازي نرمال از گروه G و آنگاه داريم،
برهان.
چون B نرمال است طبق 2-3-5 داريم بنابراين مي‌توانيم بيان كنيم:
2-3-5- مثال
فرض كنيد و كه B(x) يك زير گروه Tـ فازي نرمال از گروه هم زير مجموعه‌هاي فازي از Zاند، اكنون براي يك نقطه دلخواه از Z، مثلاً 3 نشان مي‌دهيم كه بالا يعني .
زيرا:

و بطور مشابه و .
و همچنين زيرا كه عبارت مذكور برابر است و در اين صورت است. پس تساوي برقرار است.
2-3-6- نتيجه
قضيه بالا نشان مي‌دهد كه براي دو مجموعه‌ي فازي در يك گروه، حاصلضرب تقريب‌هاي بالايي آنها برابر تقريب حاصلضرب آنها مي‌باشد.
براي تقريب پاييني مي‌توان تنها يك طرف قضيه بالا را بيان كرد.
2-3-7- قضيه
فرض كنيد B يك زير گروه T- فازي نرمال از گروه G باشد و آنگاه داريم،
برهان.
طبق تعريف

ويژگي (14)
2-3-8- لم
اگر H و N زير گروه‌هاي T- فازي نرمال از G باشند، آنگاه HTN هم يك زير گروه T- فازي نرمال از G است.
برهان.
(1) (2)
(3)
(4) =
2-3-9- نتيجه
لم بالا نشان‌دهنده‌ي اين است كه براي دو زير گروه T- فازي نرمال از G، حاصلضرب آنها نيز زير گروه T- فازي نرمال از G است.
ما درباره‌ي رابطه بين تقريب‌ها و نسبت آنها به زير گروه T- فازي نرمال بحث كرديم اينك درباره‌ي تقريب نسبت به حاصلضرب دو زير گروه T- فازي نرمال بحث مي‌كنيم.
2-3-10- قضيه
فرض كنيد H و N دو زير گروه T- فازي نرمال از گروه G باشند و ، اگر آنگاه داريم.
برهان.
2-3-11- قضيه
فرض كنيد H و N دو زير گروه T- فازي نرمال از گروه دلخواه G باشند يعني يک مجموعه فازي باشد آنگاه داريم .
برهان.

ويژگي (9)
2-3-12- نتيجه
اين امر دلالت بر اين دارد تقريبهاي مجموعه فازي نسبت به حاصلضرب دو زير گروه T- فازي نرمال، دقيق‌تر از حاصلضرب تقريب‌هاي مجموعه فازي نسبت به H و N .
فصل 3
زير گروه‌هاي T- فازي ناهموار
3-1- مقدمه
بخش 3-2 زير گروه‌هاي (نرمال) ناهموار T- فازي بالايي و پاييني از گروهي دلخواه را معرفي مي‌كنيم و نشان مي‌دهيم گروه فازي ناهموار چهارچوب كلي‌تري نسبت به گروه فازي دارد.
در بخش 3-3 تصوير همريختي از تقريب‌هاي بالايي يك گروه فازي را مورد بررسي و مطالعه قرار مي‌دهيم.
* در اين فصل منظور از T، t- نرم دلخواه است مگر موارد خاص كه ذكر مي‌شود.
3-2- زير گروه‌هاي T- فازي ناهموار
3-2-1- تعريف
اگر B يك زير گروه T- فازي نرمال از G باشد و يك زير مجموعه‌ي فازي از G باشد، يك زير گروه T- فازي (نرمال) ناهموار بالايي از G ناميده مي‌‌شود، هرگاه يك زير گروه T- فازي (نرمال) از G باشد.
3-2-2- تعريف
اگر B يك زير گروه T- فازي نرمال از G باشد و يك مجموعه‌ي فازي از G باشد، يك زير گروه T- فازي (نرمال) ناهموار پاييني از G ناميده مي‌شود، هر گاه يك زير گروه T- فازي(نرمال) از G باشد.
– نشان خواهيم داد كه هر گروه T- فازي، يك گروه T- فازي ناهموار مي‌باشد، بنابراين گروه فازي ناهموار چهارچوب كلي‌تري نسبت به گروه فازي دارد.
3-2-3- تعريف
يك زير گروه T- فازي ناهموار است كه يك زير گروه T- فازي ناهموار بالايي و پاييني باشد.
3-2-4- قضيه
فرض كنيد B يك زير گروه T- فازي نرمال از G باشد،همچنين يك زير گروه T- فازي (نرمال) از G باشد، آنگاه يك زيرگروه T- فازي (نرمال) ناهموار بالايي از G است.
برهان.
از آنجايي كه ، داريم:
(1)
(2)

(3)

اينك اگر ، نرمال باشد ، ما داريم:
3-2-5- قضيه
فرض كنيد B يك زير گروه T- فازي نرمال از G باشد، همچنين يك زير گروه T- فازي (نرمال) از G باشد و اگر ، آنگاه يك زير گروه T- فازي (نرمال) ناهموار پاييني از G است.
برهان.
از آنجايي كه ، ما طبق ويژگي (7) از VT داريم:
و براي هر و براي هر ، ما داريم:
براي هر ما داريم:
ويژگي 14
و اگر نرمال باشد، آنگاه براي هر ، ما داريم:

3-2-6- قضيه
فرض كنيد N , H زير گروه‌هاي T- فازي نرمال از گروه G باشد و يك زير گروه T- فازي نرمال از G باشد آنگاه ما داريم.
برهان.
3-2-7- تعريف
فرض كنيد B و A دو زير مجموعه ي فازي دلخواه باشند، آنگاه عبارت بصورت تعريف مي‌شود.
3-2-8- قضيه
اگر A و B زير گروهاي T- فازي نرمال از G باشند، هم زير گروه T- فازي نرمال از G است.
برهان.
(1)
(2)
(3)
(4)
3-2-9- تعريف
اگر A و B زير گروه‌هاي T- فازي نرمال از G باشد بطوريکه ، و را بترتيب عملگر تقريب بالايي نسبت به و عملگر تقريب پاييني نسبت به ، مي‌ناميم كه
3-2-10- قضيه
فرض A و B زير گروه‌هاي T- فازي نرمال از G باشند و، آنگاه ما داريم.
برهان.
براي هر ، ما داريم.

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

و ادامه
ويژگي 14
ويژگي 14
ويژگي 9=
3-2-11- مثال
Z را به عنوان بك گرو جمعي در نظر بگيريد و T = min و و دو زير گروه فازي نرمال و و دو زير مجموعه فازي از z باشند اينك نشان مي‌دهيم براي يك نقطه دلخواه (1.3) .
قضاياي ديگر را نيز مي‌توان با اين مثال بررسي كرد.
3-3- تصويرهاي همريختي گروهي از تقريب بالايي زير گروه‌هاي T- فازي
ثابت مي‌شود كه تقريب بالايي تحت همريختي گروهي پايا است. اين امر دلالت بر اين دارد كه تصوير و تصوير معكوس از گروه T- فازي ناهموار بالايي همچنين گروه‌هاي T- فازي ناهموار بالايي مي‌باشد.
3-3-1- تعريف [8]
فرض كنيد f يك همريختي گروهي باشد كه و همچنين A يك زير گروه T- فازي از G باشد، آنگاه
3-3-2- قضيه
فرض كنيد يك همريختي گروهي باشد و زير گروه‌هاي T- فازي از باشند، آنگاه زير گروه‌هاي T- فازي از هستند و اگر نرمال باشند، هم نرمال‌اند.

برهان.
(1)‌
(2)
(3)
(4)
كه هم بصورت مشابه است.
3-3-3- قضيه
فرض كنيد يك همريختي گروهي باشد و و B زير گروهاي T- فازي از G و B نرمال باشد آنگاه:
برهان.
براي هر ما داريم:
3-3-4- قضيه
فرض كنيد يك همريختي گروهي باشد و و زير گروه‌هاي T- فازي از باشد، و نرمال باشد، آنگاه
3-3-5- نتيجه
بنابراين تصوير و تصوير معكوس هر زير گروه ناهموار T- فازي بالايي، زيرگروه ناهموار t- فازي بالايي است.
3-3-6- نتيجه
از روي قضاياي 3-3-3 و 3-3-4 مي‌توان استدلال كرد كه اگر f يك همريختي گروهي از G به باشد آنگاه تصوير و تصوير معكوس هر گروه ناهموار بالايي (پاييني)، گروه ناهموار بالايي (پاييني) است.
3-3-7- تعريف
اگر f يك همريختي از گروه G به باشد و يك زيرگروه T- فازي ناهموار از G باشد آنگاه .
3-3-8- نتيجه
بنابراين تصوير و تصوير معكوس همريختي هر زيرگروه T- فازي نرمال ناهموار يك زيرگروه T- فازي نرمال ناهموار است. چون اگر يك زيرگروه T- فازي ناهموار از G باشد پس و زيرگروه T- فازي نرمال از Gاند پس تصويرشان هم هست.
فصل 4
مجموعه هاي ناهموار در حلقه ها
4-1- مقدمه
در بخش 4-2 روابط همنهشتي قوي و كامل و مجموعه ناهموار نسبت به اين روابط، در بخش 4-3 تقريب‌هاي مجموعه‌هاي فازي را بيان مي‌كنيم و در بخش 4-4 ايده‌آل‌هاي ناهموار اول (اوليه) در حلقه‌هاي جابجايي را بيان مي‌كنيم. در بخش 4-5 ايده‌آل‌هاي فازي اول (اوليه) از يك حلقه جابجايي را بيان مي‌كنيم. در بخش 4-6 ايده‌آل‌هاي فازي اول (اوليه) ناهموار را بيان مي‌كنيم. در بخش 4-7 به بيان مجموعه‌هاي ناهموار فازي پرداختيم.
* در اين فصل T، t- نرم دلخواه است و R حلقه جابجايي و يكدار است.
4-2- روابط همنهشتي قوي و كامل و مجموعه‌هاي ناهموار
در اين بخش ما برخي از خواص ايده‌آل‌هاي اوليه (اول) ناهموار و ايده‌آل‌هاي فازي اوليه (اول)ناهموار را مورد بررسي قرار مي‌دهيم. همچنين در مورد رابطه‌ي بين ايده‌آل‌هاي اوليه ناهموار بالا و پايين و تقريب بالا و پايين از تصوير همريختي آنها بحث مي‌كنيم.
4-2-1- يادآوري
در اين بخش R يك حلقه است و يك رابطه‌ي هم ارزي روي R است و نيز براي هر ، كلاس هم‌ارزي توليد شده توسط x بصورت مجموعه تعريف مي‌شود[1-2-1].
4-2-2- تعريف
فرض كنيد يك رابطه‌ي هم ارزي روي R باشد، آنگاه رابطه‌ي همنهشتي قوي ناميده مي‌شود اگر ، و و هم عضوي از باشند. (براي هر ).
4-2-3- نتيجه
فرض كنيد يك رابطه‌ي همنهشتي قوي روي R باشد و و آنگاه مي‌توان نتيجه گرفت و و (براي هر ).
4-2-4- لم
فرض كنيد يك رابطه‌ي همنهشتي قوي روي حلقه‌ي R باشد، اگر باشد آنگاه
(1)
(2)
(3)
برهان.
(1) فرض كنيد و بنابراين .
بنابراين و و چون يك رابطه‌ي همنهشتي قوي است بنابراين . و عكس.[8]
(2) از نتيجه‌ي 4-4-3 واضح است.[8]
(3) فرض كنيد كه و پس و و چون يك رابطه‌ي همنهشتي قوي است پس .
4-2-5- تعريف
فرض كنيد يك رابطه‌ي همنهشتي قوي روي حلقه R باشد و ، آنگاه مجموعه‌هاي زير را به ترتيب تقريب بالا و پايين از A مي‌ناميم.
و .
همچنين يك مجموعه ناهموار نسبت به ناميده مي‌شود. و اگر ، A را مجموعه تعريف‌پذير گوييم.
4-2-6- قضيه
فرض كنيد يك رابطه‌ي همنهشتي قوي روي حلقه‌ي R باشد، اگر I ايده‌آلي از R باشد آنگاه هم ايده‌آلي از R است.
برهان.
فرض كنيد بنابراين و پس وجود دارد و . اينك چون I ايده‌آل R است پس و براي هر و چون يك رابطه‌ي همنهشتي كامل است پس پس پس .
همچنين چون پس بنابراين و بنابراين پس .
4-2-7- تذكر
قضيه بالا يك شرط كافي است.
4-2-8- مثال
فرض كنيد يك رابطه‌ي همنهشتي قوي روي حلقه با كلاس‌هاي هم‌ارزي زير
اينك فرض كنيد كه ايده‌آلي از نيست اما كه يك ايده‌آل براي است.
4-2-9- قضيه
فرض كنيد يك رابطه‌ي همنهشتي قوي روي R و I ايده‌آلي از R باشد، آنگاه اگر ، آنگاه برابر با I است.
برهان.
فرض پس وجود دارد ، به وضوح است. ما نشان مي‌دهيم . فرض، ما داريم:
از آنجايي كه I ايده‌آلي از R است داريم .
كافيست نشان دهيم كه تا بتوان نتيجه گرفت ، فرض بنابراين پس در نتيجه پس و بنابراين .
* همچنين اگر A يك زيرحلقه از حلقه‌ي R باشد و زيرحلقه ناهموار است.
4-2-10- نتيجه
اگر I يك ايده‌آل از R باشد و آنگاه يك ايده‌آل ناهموار از R است.
4-2-11- تعريف
يك رابطه‌ي همنهشتي قوي، يك رابطه‌ي همنهشتي كامل ناميده مي‌شود هرگاه براي هر
4-2-12- مثال
در مثال 4-2-8، يك رابطه همنهشتي قوي است ولي كامل نيست.
4-2-13- قضيه
فرض كنيد يك همريختي پوشا از حلقه‌ي به حلقه‌ي و يك رابطه‌ي همنهشتي قوي روي باشد آنگاه .
(1) يك رابطه‌ي همنهشتي قوي روي است.
(2) اگر كامل باشد و هم يك‌به‌يك باشد آنگاه كامل است.
(3)
(4) و اگر باشد آنگاه:

برهان.
(1) فرض و باشد نشان بدهيم كه و و . طبق تعريف پس:

بنابراين:
(2) بايد نشان بدهيم كه . فرض كنيد بنابراين طبق تعريف بنابراين
همچنين وجود دارد كه:
و و و چون ، است و طبق تعريف ما داريم و و بنابراين و عكس هم طبق لم 3-3-2 ما داريم:
(3) فرض كنيد نشان مي‌دهيم :
طبق فرض يك وجود دارد كه . پس پس حداقل . از اينكه پس و بنابراين طبق تعريف بنابراين بنابراين بنابراين .
طرف ديگر فرض كنيد بنابراين وجود دارد كه پس پس وجود دارد كه و طبق تعريف داريم و چون پس سپس .
(4) (قسمت اول) فرض پس وجود دارد و بنابراين . فرض مي‌دانيم كه وجود دارد كه . بنابراين و بنابراين طبق تعريف بنابراين پس بنابراين پس .
(قسمت دوم): فرض پس حداقل كه .
فرض بنابراين طبق تعريف ، بنابراين بنا به 1-1 بودن پس پس پس .
4-2-14- مثال
حلقه 6Z را درنظر بگيريد بطوريكه يك رابطه همنهشتي قوي با كلاسهاي و و هم يك رابطه همنهشتي قوي ديگر با كلاس‌هاي و و و زيرمجموعه‌اي از 6Z باشد. همچنين اگر با ضابطه داده شده باشد شرايط قضيه بالا به راحتي قابل بررسي است.
راهنمايي:
4-3- تقريب‌هاي مجموعه‌هاي فازي
با مجموعه‌هاي فازي در 1-5 آشنا شديم و گفتم كه اگر مجموعه‌هاي فازي از R
باشند هرگاه و و هم مجموعه‌هاي فازي
از R اند كه و
همچنين در [2-2-12] را تعريف كرديم.
4-3-1- تعريف
فرض يك رابطه‌ي همنهشتي قوي روي و يك زيرمجموعه فازي از باشد، آنگاه مجموعه‌هاي فازي و بصورت‌هاي زير تعريف مي‌شوند.
كه به ترتيب تقريب بالايي و پاييني از مجموعه فازي ناميده مي‌شود. و مجموعه فازي ناهموار نسبت به ناميده مي‌شود و هرگاه آنگاه را تعريف‌پذير گوييم.
4-3-2- يادآوري
مانند آنچه در 3-2 بيان كرديم مي‌توانيم بگوييم زير مجموعه فازي از R يك ايده‌آل فازي ناهموار بالايي ناميده مي‌شود هرگاه يك ايده‌آل فازي از R باشد.
4-3-3- قضيه
فرض يك رابطه‌ي همنهشتي قوي روي R باشد. اگر يك ايده‌آل فازي از R باشد، و هم ايده‌آل فازي از R است.
برهان.

بنابراين و بطور مشابه بنابراين يك ايده‌آل فازي هست. و بطور مشابه براي .
4-3-4- مثال
فرض R اعداد حقيقي و به‌عنوان ايده‌آلي از آن باشد و رابطه همنهشتي با كلاس‌هاي
باشد، اينك مشخص است كه ، مي‌تواند اعضايي از [1 و] باشند يك ايده‌آل فازي ناهموار از R است. مي‌توان به راحتي درستي قضيه 4-3-3 را آزمايش كرد.
راهنمايي:
4-3-5- تذکر
اگر يك ايده‌آل فازي از R باشد يك ايده‌آل فازي ناهموار از R است.
همچنين اگر و ايده‌آل‌هاي فازي از R باشد هم ايده‌آل فازي ناهموار از R است.
4-3-6- قضيه
فرض كنيد يك رابطه‌ي همنهشتي قوي روي R باشد. اگر يك زيرمجموعه فازي از R باشد و آنگاه داريم:
(1)
(2)
برهان.
(1) فرض

(2) فرض

4-4- ايده‌آل‌هاي اول (اوليه) ناهموار در حلقه‌هاي جابجايي
4-4-1- تعريف


دیدگاهتان را بنویسید