5-1-معرفي U(p) به عنوان چندک تعميم يافته…………………………………………………………………34
5-1-1-حجم ناحيه هاي مرکزي به عنوان يک تابع چندکي…………………………………………………35
5-1-2-منحني هاي لورنز به عنوان توابع چندکي تعميم يافته……………………………………………37
5-1-3-چندک هاي سطوح تابع عمق……………………………………………………………………………………..39
فصل ششم: آماره هاي مکان و مقياس درR^d………………………………………41
6-1-مقدمه……………………………………………………………………………………………………………………………….42
6-2-آماره مکاني L در R^d……………………………………………………………………………………………………42
6-2-1-آماره مکاني L براساس توابع چندکي……………………………………………………………………….42
6-2-2-آماره مکاني L براساس توابع عمق…………………………………………………………………………….43
6-2-3-آماره L مکاني براساس چندک هاي M…………………………………………………………………….46
6-3-آماره هاي مقياس براي آناليز چند متغيره………………………………………………………………………46
6-3-1-آماره هاي مقياس ماتريس مقدار براساس ميانه ي جهت داده شده به توابع چندکي …………………………………………………………………………………………………………………………………………………..47
6-3-2-آماره هاي مقياس ماتريس مقدار براساس توابع عمق………………………………………………..47
فصل هفتم: شبيه سازي……………………………………………………………………48
7-1-مقدمه………………………………………………………………………………………………………………………………49
7-2-شبيه سازي روش تابع عمق…………………………………………………………………………………………..49
7-2-1-روش تابع عمق با استفاده از توزيع نرمال…………………………………………………………………49
7-2-2-روش تابع عمق با استفاده از توزيع نمايي………………………………………………………………..52
7-2-3-روش تابع عمق با استفاده از توزيع يکنواخت………………………………………………………….54
7-3-شبيه سازي منحني مقياس………………………………………………………………………………………….56
7-3-1-شبيه سازي منحني مقياس توزيع مستطيلي…………………………………………………………56
7-3-2-شبيه سازي منحني مقياس توزيع نرمال دو متغيره………………………………………………58
منابع……………………………………………………………………………………………..60
پيوست………………………………………………………………………………………….65
فهرست شکل ها
عنوان و شماره صفحه
شکل 1-1-چندک p ام وقتي نمودار تابع توزيع اکيدا پيوسته باشد………………………………………3
شکل 1-2-چندک p ام وقتي نمودار تابع توزيع داراي قطعه افقي باشد………………………………..4
شکل 1-3-چندک p ام وقتي نمودار تابع توزيع داراي جهش باشد……………………………………….4
شکل 1-4-ناحيه ي دروني چندک p ام در حالت يک متغيره……………………………………………….6
شکل 1-5-ناحيه هاي دروني حول مرکز…………………………………………………………………………………7
شکل 1-6-انتخاب يک ناحيه در بين ناحيه هاي تودر تو که کمترين احتمال بزرگتر از p را دارد…………………………………………………………………………………………………………………………………………….8
شکل 2-1-ناحيه هاي دروني تودرتو براي توزيع نرمال………………………………………………………….14
شکل 2-2-ناحيه هاي دروني تودرتو براي توزيع نمايي…………………………………………………………14
شکل 5-1-منحني مقياس……………………………………………………………………………………………………….36
شکل 7-1-ناحيه هاي دروني نقاط توليد شده از توزيع نرمال دو متغيره با ? هاي 1/0، 2/0 و 4/0…………………………………………………………………………………………………………………………………………..50
شکل 7-2-عمق نقاط توليد شده از توزيع نرمال دو متغيره……………………………………………….51
شکل 7-3-ناحيه هاي دروني نقاط توليد شده از توزيع نمايي دو متغيره با ? هاي 025/0، 1/0، 2/0 و 4/0………………………………………………………………………………………………………………………52
شکل 7-4-عمق نقاط توليد شده از توزيع نمايي دو متغيره……………………………………………….53
شکل 7-5-ناحيه هاي دروني نقاط توليد شده از توزيع يکنواخت دو متغيره با ? هاي 025/0، 1/0، 2/0 و 4/0………………………………………………………………………………………………………………………..54
شکل 7-6-عمق نقاط توليد شده از توزيع يکنواخت دو متغيره…………………………………………..55
شکل 7-7-منحني مقياس توزيع يکنواخت استاندارد…………………………………………………………..56
شکل 7-8-منحني مقياس توزيع يکنواخت روي بازه (2و0)………………………………………………57
شکل 7-9-منحني مقياس توزيع نرمال دو متغيره N(0,I)……………………………………………….58
شکل 7-10-منحني مقياس توزيع نرمال دو متغيره N(0,2I)…………………………………………59
فصل اول
مقدمه
در اين فصل ما چندک و تابع چندکي را براي حالت يک متغيره تعريف کرده و سپس تابع چندکي را به حالت چند متغيره تعميم مي دهيم.
1-1- چندک مرتبه(Q_p) p
فرض کنيد متغير تصادفي X داراي تابع توزيع F(.) باشد.پارامتر Q_pرا چندک مرتبه p براي F(.) يا متغير تصادفي Xمي ناميم ، هرگاه نامساوي دو طرفه زير برقرار باشد:
P(X<Q_p )? p ?P (X?Q_p ), 0 <p< 1
اين نامساوي دو طرفه بدين معني است که مقدار احتمال در فاصله باز (-?, Q_p) حداکثر p و در فاصله نيم باز (-?,Q_p] حداقلp است.
اينک به حالات خاص زير توجه کنيد:
الف. اگر F(.) پيوسته واکيداً صعودي باشد، يعني نمودار آن داراي خطوط افقي يا جهش نباشد، آنگاه نامساوي بالا تبديل به تساوي F(Q_p )=p شده و در اين حالتQ_p پاسخ يکتاي معادله زير خواهد بود:
F(Q_p )=?_(-?)^(Q_p)??f(x)dx .?
شکل (1-1) به خوبي بيانگر اين موضوع مي باشد.
شکل (1-1): چندک p ام در يک توزيع پيوسته وقتي نمودار تابع توزيع اکيدا پيوسته باشد.
ب. اگر نمودار F(.) شامل يک يا چند خط افقي باشد، ممکن است Q_p براي بعضي از مقادير p يکتا نباشد. به عنوان مثال در شکل (1-2) تمام نقاط بازه ي [q_1,q_2 ] مي تواند به عنوان چندک Q_p تفسير شود.
شکل (1-2): چندک p ام وقتي نمودار تابع توزيع داراي قطعه افقي باشد.
ج. اگر F(.) در يک يا چند نقطه داراي جهش باشد، ممکن است Q_pبراي بعضي از مقادير متفاوت pيکسان باشد. براي درک بهتر موضوع به شکل زير توجه کنيد.
شکل (1-3): چندک p ام وقتي نمودار تابع توزيع داراي جهش باشد.
1-2-1- تابع چندکي جهت يافته از ميانه در حالت يک متغيره
چندک p ام يک تابع توزيع تک متغيره ي F، F^(-1) (p) مي باشد. ميانه m توسط F^(-1) (1/2) محاسبه مي شود و براي0<p<1 نقاطF^(-1) ((1-p)/2) و F^(-1) (1-(1-p)/2) بازه اي به فرم رابطه (1-1) را شکل مي دهند که مجموع احتمال در خارج از بازه، 1-p باشد. اين ديدگاه ما را به سمت تعريف ناحيه دروني چندک p ام به صورت
(1-1) [F^(-1) ((1-p)/2),F^(-1) (1-(1-p)/2)]
هدايت مي کند که به وضوح داراي احتمال p است.
به عنوان مثال به ازاي p=1/2 ناحيه ي درون چارکي تشکيل مي شود و با ميل دادن p به سمت صفر ميانه حاصل خواهد شد. وقتي که بين p و p ? رابطه ي p=|2p ?-1| برقرار باشد دو مقدار p ? به صورت زير بدست خواهد آمد:
p ?=(1-p)/2 , p ?=(1+p)/2
F^(-1) ( p ? ) هاي حاصل به عنوان نقاط مرزي ناحيه دروني چندک p ام تلقي خواهند شد.
ناحيه ي دروني چندک p ام براي 0<p<1 اطلاعات چندک براي توزيع F را به صورت کامل مشخص مي کند. يک ويژگي بارز اين ناحيه، تودرتو بودن آن است، بدين معني که به ازاي 0<p_1<p_2<1 ناحيه دروني چندک p_1 ام زير مجموعه ناحيه دروني چندک p_2 ام است.

براي يکسان سازي نمادها، با توجه به وجود تنها دو جهت در R، (u=±1)، تابع چندکي جهت يافته از ميانه Q(u,p) را به صورت زير تعريف مي کنيم:
Q(u,0)?m
Q(-1,p)=F^(-1) ((1-p)/2)
Q(+1,p)=F^(-1) (1-(1-p)/2)
شکل زير ناحيه ي دروني چندک p ام در حالت يک متغيره را نشان مي دهد.
شکل (1-4): ناحيه ي دروني چندک p ام در حالت يک متغيره
در شکل (1-4) نقاط Q(-1,p) و Q(+1,p) نقاط مرزي هستند که ناحيه ي درون اين بازه داراي احتمال p و ناحيه ي خارج اين بازه داراي احتمال 1-p مي باشد.
1-2-2- تابع چندکي جهت يافته از ميانه در حالت چند متغيره
براي تعريف تابع چندکي Q(u,p) در حالت چند متغيره نيازمند تعريف ميانه هستيم. روش هاي مختلفي براي محاسبه ميانه در حالت چند متغيره وجود دارد (به عنوان مثال در بخش 2-2 به روش تابع عمق اشاره خواهد شد) حالا فرض مي کنيم که ميانه ي m داده شده است و u?S^(d-1) (m) که S^(d-1) (m) به صورت زير تعريف مي شود:
S^(d-1) (m)={(x_1,…,x_d ) : x_1^2+…+x_d^2=1}.
همچنين فرض مي کنيم خانواده ي A={A_? , 0<?<?} که در آن براي 0<?<(? <) ??، A_??A_? ? و A_0=lim?(??0)??A_?=? {m} است، شامل ناحيه هاي تودرتو حول mباشد. تابع چندکي جهت يافته از ميانهQ(u,p) به سادگي با شاخص گذاري هر نقطه روي کران A_? ساخته مي شود که به صورت مبسوط مورد بررسي قرار خواهد گرفت.
شکل زير، ناحيه هاي دروني را نشان مي دهد که همگي حول مرکز يعني ميانه واقع شده اند.
شکل (1-5): ناحيه هاي دروني حول مرکز به طوريکه ?<(? ) ?
با مشخص کردن نقاط روي ناحيه هاي مرزي A_? و A_? ? تابع چندکي جهت يافته از ميانه حاصل مي شود. به طور دقيق تر براي p?(0,1)، ?_p=inf{? :P(A_? )>p} تعريف مي شود و آنگاه Q(u,p) توسط نقطه ي مرزي A_(?_p ) در جهت u از m مشخص مي شود و A_(?_p ) يک ناحيه ي دروني چندک p ام را ارائه مي کند. کرانه هاي ?A، که کانتور ناميده مي شود، تفسير هاي مفيدي را به عنوان تابع چندکي جهت يافته از ميانه دارند. ايده هاي متفاوت از ميانه ي m و شکل هاي متفاوت براي ناحيه هاي A_? ما را به فرم هاي متفاوت تابع چندکي، سوق مي دهند.
شکل (1-6): انتخاب يک ناحيه در بين ناحيه هاي تودر تو که کمترين احتمال بزرگتر از p را دارد.
شکل (1-6) ناحيه هاي تودرتو را نشان مي دهد و در اينجا A_(?_p ) ناحيه اي را نشان مي دهد که در بين ناحيه هاي ديگر کمترين احتمال بزرگتر از p را دارد و به اين ناحيه، ناحيه ي دروني چندک p ام گفته و به کرانه هاي A_(?_p ) کانتور مي گوئيم.
خواص تابع چندکي جهت يافته از ميانه Q(u,p) در زير بيان شده است:
1- براي هر ثابت p?[0,1) و به ازاي همه ي u ها، مجموعه {Q(u,t):0?t?p } شامل يک ناحيه ي دروني چندک p ام با نقاط مرزي Q(u,p) و ميانه Q(u,0)?m مي باشد.
2- براي هر جهت u از m فاصله ي ?Q(u,p)-m ? نسبت به p افزايشي است، که در آن ?. ? نشان دهنده نرم اقليدسي است.
3- ناحيه هاي دروني چندک p ام يا {Q(u,t):0?t?p } به ازاي همه ي u ها داراي ساختار و تفسير مناسبي است.
براي راحتي کار، از اين به بعد به جاي نام کامل تابع چندکي جهت يافته از ميانه، به اختصار از تابع چندکي نام مي بريم.
فصل دوم
چندک ها بر اساس تابع عمق
2-1- مقدمه
همانگونه که قبلا متذکر شديم، توسيع مفهوم چندک به داده هاي چند بعدي مي تواند از چند منظر صورت گيرد، ما در اين فصل اين مفهوم را با استفاده از تابع عمق گسترش مي دهيم. بدين منظور ابتدا تابع عمق را تعريف کرده و سپس با معرفي يک تابع عمق خاص به نام تابع عمق نيم فضا و به کارگيري آن، مفهوم چندک را براي متغيرهاي چند بعدي معرفي مي کنيم.

2-2- تابع عمق
تابع حقيقي مقدار و غير منفي D(x) که بر روي R^d تعريف شود و يک مفهوم مرکزي و ترتيبي روي R^d ايجاد کند را يک تابع عمق گويند. منظور از مفهوم مرکزي و ترتيبي اين است که بتوان نقطه مرکزي داده ها را مشخص کرده و ترتيبي براي داده ها در نظر گرفت. مرکز نقطه اي است که بيشترين عمق را دارا باشد. در صورت وجود چند نقطه با بيشترين عمق، ميانگين اين نقاط را مرکز مي گيرند. با فاصله گرفتن از نقطه مرکزي عمق نقاط کاهش يافته و لذا يک رابطه ترتيبي در R^d ايجاد مي شود. لازم به ذکر است که توابع عمق متفاوتي وجود دارد و ما در اين پايان نامه از تابع عمق نيم فضا بهره مي جوئيم که در ادامه به آن اشاره مي شود.
2-2-1- تابع عمق آماري
فرض کنيدF يک تابع توزيع باشد. هر تابع D(x,F) که يک مفهوم مرکزي و ترتيبي روي R^d بر اساس F ايجاد مي کند را يک تابع عمق آماري گويند.
فرض کنيد D(x,F) يک تابع عمق آماري باشد. اگر به جاي x يک متغير تصادفي قرار گيرد آنگاه تابع توزيع متغير تصادفي D(X,F) به صورت معمول زير تعريف مي شود:
F_D (y)=P(D(X,F)<y) , y>0 .
2-2-1-1- ناحيه ي دروني عمق ?
فرض کنيد D(.,F) يک تابع عمق آماري باشد. ناحيه ي دروني عمق ? به صورت
I(?,D,F)={x: D(x,F)> ? , ?>0}
معرفي مي شود. لازم به ذکر است که I(0,D,F)=R^d
در ادامه يک تابع عمق آماري را ارائه و مفهوم تابع چندکي را توسط آن بيان مي کنيم.
2-2-1-2- تابع عمق نيم فضا
وقتيکه H يک نيم فضاي بسته R^d باشد، تابع عمق نيم فضا به صورت زير تعريف مي شود:
HD(x,F)= inf {P(H) , x?H}.
براي روشن تر شدن مفهوم تابع عمق نيم فضا، d=2 را در نظر بگيريد. يک صفحه به صورت هاي مختلفي به نيم صفحه افراز مي شود. HD(x,F) نيم صفحه اي را برمي گزيند که کمترين احتمال پوشش نقطه x را داشته باشد.
2-2-1-2-1- ناحيه ي دروني عمق نيم فضا
فرض کنيد P يک تابع احتمال رويR^d باشد. در صورتيکه H يک نيم فضاي بسته R^d باشد، ناحيه ي دروني عمق نيم فضا به صورت زير تعريف مي شود:
I(?,HD,F)=?{H: P(H)>1-?}.
براي مثال، فرض کنيد d=2 است، آنگاه I(?,HD,F)ناحيه اي است که بين تمام نيم صفحه هايي که احتمال آنها از 1-? بزرگتر است، مشترک است.
شکل (2-1)، I(?,HD,F) را براي توزيع نرمال دو متغيره با ? هاي متفاوت و شکل (2-2)، I(?,HD,F) را براي توزيع نمايي دو متغيره با ? هاي متفاوت نشان مي دهد.
شکل (2-1): ناحيه هاي دروني تودرتو براي توزيع نرمال دو متغيره
شکل (2-2): ناحيه هاي دروني تودرتو براي توزيع نمايي دو متغيره
2-2-1-3- ناحيه ي مرکزي p ام
بيشترين عمق کرانه اي که داراي ناحيه هاي دروني با احتمال بزرگتر يا مساوي p است را توسط ?_p نشان مي دهيم. لازم به ذکر است که کرانه همان کانتور است.
(2-1) .?_p=sup{? :P(I(?,D,F))?p}
با توجه به تعريف، چون I(?,D,F) نسبت به ? نزولي است بنابراين وقتي ? به ?_p صعود مي کند ناحيه ي I(?,D,F) بهI(?_p ,D,F) نزول مي يابد و داريم:
P(I(?_p,D,F))=lim?(???_p )??P(I(?,D,F))?p? .
درستي رابطه فوق در زير توضيح داده شده است.
فرض کنيد F_D يک تابع توزيع پيوسته با عمق ? باشد، داريم:
(2-2) P(I(?,D,F))=1-F_D (?)
و اگر F_D اکيدا صعودي باشد با توجه به روابط (2-1) و (2-2) خواهيم داشت:
F_D (?_p )=1-p ? ?_p=F_D^(-1) (1-p) .
اما در حالت کلي يعني اگر شرط اکيدا صعودي را نداشته باشيم آنگاه:
F_D (?_p )?1-p
P(I(?_p,D,F))=lim?(???_p )??P(I(?,D,F))?1-(1-p)=p?
با توجه به توضيحاتي که گفته شد، کوچکترين ناحيه ي دروني با احتمال بزرگتر يا مساوي p وجود دارد که توسط C(p,D,F)=I(?_p,D,F) نمايش داده مي شود و ناحيه ي مرکزي p ام ناميده مي شود.

2-2-1-4- ناحيه ي بيروني p ام
براي هر ??0 ناحيه ي بيروني O(?,D,F) را توسط رابطه ي زير تعريف مي کنيم:
O(?,D,F)={x: D(x,F)??}?supp(F) .
که در آن منظور از supp(F)، تکيه گاه F مي باشد.
کمترين عمق کرانه اي که احتمال ناحيه ي بيروني بزرگتر از p دارد را توسط ? ?_p نشان مي دهيم:
? ?_p=inf{? :P(O(?,D,F))>p} .
با توجه به اينکه P(O(?,D,F))=F_D (?)، بنابراين داريم:
F_D (? ?_p )=p,
و در نتيجه
? ?_p=F_D^(-1) (p).
تعريف2-1- کانتور عمق
به کرانه ?I(?,D,F) يعني نقاط مرزي I(?,D,F) ، کانتور عمق مي گوئيم. علت اين نامگذاري اين است که ناحيه هاي دروني بر اساس تابع عمق ساخته شده اند.
2-2-1-5- سطوح چندکي بر اساس عمق
براي 0<p<1 کانتور عمق ?_p را به عنوان تابع چندکي اي مي توان تفسير کرد که با استفاده از رابطه ي
Q(p,D,F)=?I(?_p,D,F)=?C(p,D,F),
مشخص مي شود و آن را سطح چندک p ام مي ناميم.
حالا با مشخص کردن نقاط رويQ(p,D,F) در جهت u از m يک تابع چندکي Q(u,p) حاصل مي شود که در آن u?S^(d-1) (m) مي باشد و شرط 1و2 تابع چندکي که در بخش 1-2-2 بحث شد را دارد.
ناحيه هاي دروني چندک p ام به آساني به عنوان ناحيه هاي مرتبط با عمق بالاتر تفسير مي شوند که نقاط مرزي داراي عمق ?_p و نقاط دروني داراي عمق بزرگتر يا مساوي ?_p هستند. بدين صورت شرط سوم تابع چندکي، گفته شده در بخش 1-2-2، نيز به خوبي حاصل مي شود. با استفاده از توابع عمق متفاوت، نسخه هاي متفاوت توابع چندکي حاصل مي شوند.
2-3- نتيجه گيري

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

در اين فصل تابع چندکي را بر اساس تابع عمق بدست آورديم و هر سه خاصيت تابع چندکي، گفته شده در بخش 1-2-2 نيز برقرار بودند. از اينرو تابع عمق در بدست آوردن تابع چندکي بسيار کارا است. در ضمن مي دانيم که تابع چندکي ويژگي هاي خوب بسياري را در اختيار ما مي گذارد که مي توانيم از طريق آنها چندک هاي چند متغيره را بطور مناسبي پيدا کنيم.
فصل سوم
چندک هاي چند متغيره براساس مينيمم کردن نرم

3-1- مقدمه
فرگوسن در سال 1967 با مينيمم کردن رابطه
(3-1) E{|Z-?|+(2p-1)(Z-?)}
نسبت ?، چندک تک متغيره معمولي را بدست آورد. در سال 1992 ابدوس و تئودورس و در سال 1996 چادوري به طور متفاوت، رابطه (3-1) را به چند متغيره بسط داده اند. در اين فصل ما اين دو روش متفاوت از توسيع (3-1) براي حالت چند متغيره را معرفي کرده و براي هر روش، وجود تابع چندکي را مورد بررسي قرار مي دهيم.
3-2-1- روش ابدوس و تئودورس1 (1992)
از آنجا که در رابطه (3-1) تابع قدر مطلق بکار گرفته شده است يک تعميم طبيعي اين مي باشد که در فضاي با بعد بالاتر به جاي قدر مطلق از يک نرم خاص استفاده شود. ابدوس و تئودورس در سال 1992 براي 1?r?? و 0<p<1 تابع نرم را بدين صورت تعريف کردند:

?x?_(r,p)=?(x_1,…,x_d )?_(r,p)
=?(|x_1 |+(2p-1) x_1)/2,…,(|x_d |+(2p-1) x_d)/2?_r
که در آن ?.?_r نرم اقليدسي L^r رويR^d است که مي توان فرم هاي مختلفي را براي آن در نظر گرفت ولي در اين پايان نامه به فرم زير محاسبه مي شود:
?x ? ?=(??(|x_i |^r ) )^(1/r)

چندک p ام، ?_(r,p)، زمانيکه x?R^d باشد از مينيمم کردن
{?X-??_(r,p)-?X?_?( @r,p) } E، بدست مي آيد. بنابراين براي هر r در نرم L^r، چندک هاي برداري تعريف شده هم جهت و هم بزرگي (مقدار) دارند و توسط p?(0,1) دسته بندي مي شوند و براي ثابت r، با در نظر گرفتن متغير p در بازه (0,1) و قرار دادن ?_(r,p) به عنوان تابع مورد نظر يک رويه در R^d با چندک هاي مرکزي و انتهايي متناظر با کوچکترين و بزرگترين مقدار |p-1/2|، p=0, 1/2، توليد مي شوند که در بخش 3-2-2 بيشتر به آن خواهيم پرداخت. به عنوان حالت خاص اگر r = 1 و d=1 باشد، آنگاه:
E{?X-??_(1,p)-?X?_(1,p) }
=1/2 E{|X-?|+(2p-1)(X-?)-|X|-(2p-1)X}
=1/2 E{|X-?|+(2p-1)X-(2p-1)?-|X|-(2p-1)X}
=1/2 E{|X-?|-|X|-(2p-1)?}
(3-2) =1/2 [?_(-?)^??{|x-?|-|x|} f(x)dx -(2p-1)?]
بايد (3-2) را روي ? مينيمم کنيم، بنابراين از اين رابطه مشتق مي گيريم و چون تابع داخل انتگرال نامنفي و پيوسته است، مشتق را وارد انتگرال مي کنيم:
d/d? (1/2 [?_(-?)^??{|x-?|-|x|} f(x)dx -(2p-1)?])
= 1/2 [?_(-?)^???d/d? {|x-?|-|x|} ? f(x)dx-(2p-1)]
=1/2 [?_(-?)^???d/d? |x-?| f(x)dx-(2p-1) ?]
=1/2 [?_(-?)^???d/d? (?-x)f(x)dx+?_?^???d/d? (x-?)f(x)dx-(2p-1) ??]
=1/2 [?_(-?)^???f(x)dx+?_?^???-f(x)dx-(2p-1) ??]
از برابر صفر قرار دادن عبارت حاصل خواهيم داشت:
1/2 [?_(-?)^???f(x)dx+?_?^???-f(x)dx-(2p-1) ??]=0
?F(?)-[1-F(?)]-(2p-1)=0
?F(?)=p??=F^(-1) (p) ام pچندک
بنابراين، در فضاي يک بعدي با مينيمم کردن ? در رابطه 3-2 چندک p ام بدست مي آيد. با تعميم اين روند به فضاي چند بعدي، چندکهاي چند متغيره حاصل مي شود.
براي r = 1 ، ?_(1,p) را بردار چندک هاي p ام تک متغيره کناري مي ناميم. براي r=2 ، به ?_2,0.5 ميانه ي فضايي گفته مي شود.

3-2-2- بررسي تابع چندکي Q(u,p) توسط چندک هاي ?_(r,p)
در اين بخش وجود تابع چندکي Q(u,p) توسط چندک هاي ?_(r,p) براي r ثابت را بررسي مي کنيم. بنابراين ابتدا از ميانه که در اينجا Q(u,0)=?_(r,0.5)=m مي باشد به عنوان نقطه ي شروع فرمول تابع چندکي استفاده مي کنيم. متاسفانه يک خانواده از ناحيه هاي دروني تودرتو ديده نمي شود. براي مثال، مجموعه هاي A_(r,t)={?_(r,s):|s-1/2|?t} براي 0?t<1/2 را در نظر بگيريد. براي r ثابت، A_(r,t) يک منحني در R^d است. بنابراين براي r ثابت منحني داراي ساختار تودرتو نمي باشد، يعني اينکه براي ساختن تابع چندکي بايستي ميانه، که در اينجا ?_(r,0.5) مي باشد مرکز واقع گردد و با جهت دادن از مرکز، ناحيه هاي تودرتو شکل بگيرد و همگي حول مرکز واقع گردند که در اينجا چنين چيزي رخ نمي دهد. به عبارت ديگر، احتمال اينکه ناحيه ي دروني چندک p ام اتفاق بيفتد صفر است و بنابراين خواص 1و3 گفته شده در بخش 1-2-2 را دارا نمي باشد. در نتيجه، نمي توانيم يک تابع چندکي Q(u,p) توسط چندک هاي ?_(r,p) داشته باشيم.
3-3-1- روش چادوري2
چادوري در سال 1996، رابطه (3-1) را از طريق يک تفسير متفاوت به R^d بسط داده است. ابتدا (3-1) را به شکل ديگري باز نويسي مي کنيم:
E{|Z-?|+u(Z-?)}
که در آن u = 2p-1 مي باشد. بنابراين چندک p ام براي p?(0,1) توسط u?(-1,1) دسته بندي مي شود. با توسيع u به حالت چند متغيره، کره ي واحد بازB^(d-1) (0) حاصل مي شود و توسط آن چندک هاي d بعدي تشکيل مي شوند.
روش چادوري در بدست آوردن چندک چند متغيره به صورت زير مي باشد:
چندک u امQ ?(u) ، x?R^d، حاصل مي گردد هرگاهQ ?(u) ، ?(u,X)}-u,X-?)) ?} Eرا مي نيمم کند که در اينجا ?(u,t)=?t?+<u,t> مي باشد که در اينجا منظور از <.,.> ، ضرب داخلي روي فضاي R^d مي باشد.
در مقايسه با روش ابدوس و تئودورس براي حالت نرم L^2 ما دوباره چندک هاي برداري داريم که هم جهت و هم بزرگي (مقدار) دارند و ميانه ي فضايي، مرکز را ايجاد مي کنند يعني Q ?(0) مبدا است، بنابراين Q ?(0)= ?_(2, 1/2) .
نقاط در R^d غير از m تحت اين دو سيستم چندکي تفسيرهاي متفاوتي دارند.
براي مقايسه ي بهتر روش چادوري با روش ابدوس و تئودورس، تابع زيان يک متغيره L(u,t)=|t|+ut که در آن u?(-1,1) t?R , هستند را در نظر مي گيريم. ابدوس و تئودورس با تعميم L(2p-1,t) ، t?R، به حالت چند متغيره با استفاده از نرم L^2 به فرم ?L(2p-1,t_1 ),…,L(2p-1,t_d )?که همان نرم اقليدسي است، براي p?(0,1) و t=(t_1,…,t_d )?R^d، چندک p ام در R^d را بدست آوردند. اما چادوري در سال 1996 چندک u ام )براي (u?B^(d-1) (0) در R^d را با تعميم L(u,t) به ?(u,t)، (t?R^d ,u?B^(d-1) (0)) بدست آورد.
چادوري چندک Q ?(u)را براي حالت ?u?=0، چندک مرکزي و براي حالت =1 ?u? چندک انتهايي ناميد.
وقتي n مشاهده داشته باشيم، ?u? ميزان انحراف Q ?_n (u)از مرکز m را ارائه مي دهد. دراينجا با ذکر چند نکته اين موضوع را روشن مي کنيم.
الف- ميزان انحراف به صورت فاصله اقليدسي بين Q ?(u) و mنيست.
ب- فاصله از m بطور يکنواخت در?u? افزايش نمي يابد.
ج- براي d?2 اندازه ?u? تفسير احتمالي ندارد. اما در حالت يک متغيره با در نظر گرفتن u=2p-1 تفسير احتمالي خواهد داشت.
د- در حاليکه ناحيه ي {Q ?(u): ?u? <0.5} در حالت يک متغيره براي ?p?3/4 1/4 (يعني ناحيه ي درون چارکي) با چندک p ام ارتباط دارد، براي 2 d? در ارائه چنين تعبيري، که در ادبيات از آن با عنوان نيمه مياني3 ياد مي شود، ناتوان است.
حال با ارائه مثالي در حالت يک متغيره به بررسي خواص ذکر شده مي پردازيم.
مثال 3-1:
F=0.5F_1+0.5F_2 را در نظر بگيريد، که F_2 و F_1 به ترتيب توزيع هاي يکنواخت(مستطيلي) روي [0,1] و [-100,0] هستند. در اين صورت:
F(x)={?(?(0 x<[email protected]_1 (x) -100?x<0)@0.5+0.5F_2 (x) 0?x<[email protected] x?1)?
آنگاه m=0 و چون u=2p-1 درنتيجه Q ?(u) براي u هاي مختلف به شکل زير مي باشد:
Q ?(0.5)=F^(-1) (0.75)=0.5
Q ?(-0.5)=F^(-1) (0.25)=-50
Q ?(-0.1)=F^(-1) (0.45)=-10
در اينجا دو چندک ? Q ??_n (±u) که Q ? برآورد Q ? است، با ?u?=0.5 را محاسبه کرديم که انحراف از m به وضوح ديده مي شود و نشان دهنده ي نکته ي الف مي باشد. دو چندک Q ?_n (u)و Q ?_n (u ? ) براي |u|=|-0.1|<|0.5|=|u ? | بصورت |Q ?_n (u)|=|10|>|0.5|=Q ?_n (u ? ) مي باشد که نشان دهنده ي نکته ب مي باشد.
3-3-2- بررسي تابع چندکي Q(u,p) توسط چندک هاي Q ?(u)
در اين بخش وجود تابع چندکي Q(u,p) با استفاده از Q ?(u) را مورد بررسي قرار مي دهيم. بدين منظور ابتدا از ميانه يعنيQ(u,0)= Q ?(0)=m ، شروع مي کنيم. براي مثال مجموعه هاي B_t= {Q ?(u ? ):?u ? ?<t} براي 0?t<1 را در نظر مي گيريم. اين مجموعه ها به طور طبيعي ناحيه هاي دروني تو در تو را ايجاد مي کنند.
با قرار دادن t_p=inf{t:P(B_t)?p} و جهت uاز m، نقاط کرانه اي B_(t_p ) ( براي Q ?(u ?) هايي که ?u ? ?=t_p) يک تابع چندکي Q(u,p) را ايجاد مي کند که شرايط 1 و 2 تابع چندکي را دارا است. بطور خاص، اين موضوع توسط يک ناحيه درون چارکي با حجم داده شده، به عنوان يک مثال از برد ميان چارکي تک متغيره، به آساني ديده مي شود. به هر حال، پارامترهايu ? و u بکارگرفته شده در Q ?(u ?) و Q(u,p) داراي يک مضمون نمي باشند. لذا، نمي توانند به خوبي از عهده تفسير ويژگي 3 ذکر شده در بخش 1-2-2 برآيند. به عبارت ديگر ارتباط بين پارامترهاي u ? در Q ?(u ?) و پارامترهاي(u,p) براي
Q ?(u ? )=Q(u,p) مبهم مي باشد که تفسير سختي از ناحيه دروني چندک p ام B_(t_p ) بعنوان يک مجموعه در R^d مي سازد . اگرچه ?u ? ? بعنوان يک مدلي از اندازه زيرين يا تودرتو بودن، تفسير مي شود. اما شرط 3 از شرايط تابع چندکي گفته شده در بخش 1-2-2 برقرار نمي باشد.
يک خاصيت قوي: در نظر بگيريد Q ?_n (u) براي يک سري داده x_1,…,x_n محاسبه مي شود و فرض کنيد براي u داده شده و 1?i?n ،Q ?_n (u)?x_i باشد آنگاه:
-1/n ?_(i=1)^n?{(x_i-Q ?_n (u)) / ?x_i-Q ?_n (u)?} =u
در اينجا نتيجه مي شود که Q ?_n (u) تنها از طريق بردار جهت u به x_i ها وابسته است. بنابراين اگر نقاط x_i در امتداد شعاعشان نسبت به Q ?_n (u) به طرف بيرون حرکت کنند، مقدار Q ?_n (u) براي u ثابت، ثابت باقي مي ماند.
3-4- نتيجه گيري
در اين فصل با استفاده از دو روش متفاوت در بسط رابطه 3-1، چندک چند متغيره را محاسبه کرديم. روش ابدوس و تئودورس در بدست آوردن تابع چندکي ناموفق بود. ولي با استفاده از روش چادوري تابع چندکي بدست آمد. اما به دليل اينکه ويژگي سوم تابع چندکي حاصل نشد، تابع چندکي بدست آمده خيلي مفيد نيست.
فصل چهارم
چندک هاي چند متغيره داده اي براساس شيب
4-1- مقدمه
براي داده هاي تک متغيره x_1,…,x_n ميانه، عبارت D(?)=??|x_i-?| را مينيمم مي کند و با حل S(?)=-???sgn(x_i-?)=0? که در آن
sgn(x)={?(?(1&x?0)@?(0&x<0))?,
و S(?) مشتق D(?) مي باشد، بدست مي آيد. تابع S(?) را مي توانيم به عنوان چندک تفسير کنيم. در اين فصل با ذکر چند مثال، چندکهاي چند متغيره را بر اساس روش مشتق گيري مورد بررسي قرار مي دهيم.
4-2- بکارگيري روش مشتق گيري در بدست آوردن چندک هاي چند متغيره
D_3 (?), D_2 (?), D_1 (?) را به صورت زير در نظر بگيريد و ?.?_r، r=1,2 ، در روابط زير، نرم اقليدسي L^r مي باشد:
D_1 (?)=???x_i-??_1
D_2 (?)=???x_i-??_2
D_3 (?)=?_(1<i_1<…<i_d<n)?d!V(?,x_(i_1 ),…,x_(i_d ) )
که V(y_(i_1 ),…,y_(i_(d+1) ) ) حجم ساده در R^d با رئوس y_(i_1 ),…,y_(i_(d+1) ) مي باشد.
با مشتق گرفتن از D_3 (?), D_2 (?), D_1 (?) ، S_1 (?) ، S_2 (?) و S_3 (?) حاصل مي شوند که با برابر قرار دادن هر کدام با صفر به ترتيب ميانه ي مولفه اي ، ميانه ي فضايي و ميانه ي اوجا4 حاصل مي شوند.
تذکر آن که مشتق ها در حالت 2 d? بعنوان ايده هاي چند متغيره ي آماره آزمون علامت و چندک (بطور همزمان) تفسير مي شوند که در ادامه به آن مي پردازيم.
4-3- آزمون علامت
4-3-1- آزمون علامت براي حالت تک متغيره


پاسخی بگذارید