جدول 1: برآورد خطاي نوع اول براي k=3 جامعه نرمال مستقل براي روش هاي
JKL، MJKL. ……………………………………………………………………………………………………………………… 31
جدول 2: برآورد توان براي k=3 جامعه نرمال مستقل براي روش هاي JKL،
MJKL………………………………………………………………………………………………………………………………………32
جدول 3: برآورد خطاي نوع اول براي k=4 جامعه نرمال مستقل براي روش هاي
GPT، JKL، JKW، WT ، New و MLRT…………………………………………………………………….33
جدول 4: برآورد خطاي نوع اول براي k=7 جامعه نرمال مستقل براي روش هاي

GPT، JKL، JKW، WT، New و MLRT…………………………………………………………………….34
جدول 5: برآورد توان براي k=3 جامعه نرمال مستقل براي روش هاي New و
MLRT…………………………………………………………………………………………………………………………………….35
جدول 6: برآورد توان براي k=4 جامعه نرمال مستقل براي روش هاي New و
MLRT……………………………………………………………………………………………………………………………………..36
جدول 7: برآورد توان براي k=5 جامعه نرمال مستقل با حجم نمونه برابر براي
روش هاي New و MLRT…………………………………………………………………………………………………….37
جدول 8: برآورد توان براي k=3 جامعه نرمال مستقل براساس جدول کريشنامورتي
و ميسوک لي (2014)………………………………………………………………………………………………………………..39
جدول 9: اطلاعات مربوط به تعداد صيد 4 نوع ماهي در درايالت کارناتاکا هند ……………………..40
جدول 10: نتايج آزمون ها ………………………………………………………………………………………………………..40
فهرست اشکال
عنوان و شماره صفحه
شکل 1: تخمين چگالي آماره جعفري و کاظمي (2013) …………………………………………………….. 24
شکل 2: تخمين چگالي آماره جعفري و کاظمي (2013) بعد از ضرب نمون ضريب ……………….24
شکل 3: چگالي خي دو با دو درجه آزادي………………………………………………………………………………..24

فهرست نشانه هاي اختصاري
فصل اول: مقدمه
1- مقدمه
1-1- مقدمه و تاريخچه
بدليل اينکه ضريب تغييرات به واحد اندازه گيري بستگي ندارد، معياري مناسب جهت مقايسه پراکندگي چند جامعه با واحد هاي اندازه گيري مختلف مي باشد و به همين دليل نيز ضريب تغييرات مورد توجه آمار دانان قرا گرفته است. هدف ما در اين پايان نامه ارائه آزموني براي آزمودن برابري ضرايب تغييرات در چند جامعه نرمال براساس آزمون والد1 و روش بوت استراپ پارامتري2 مي باشد. تاکنون روش هاي مختلفي براي آزمون برابري ضرايب تغييرات در چند جامعه نرمال ارائه شده اند؛ اما هيچ يک از روش هاي ارائه شده دقيق نيستند به اين معني که خطاي نوع اول آنها دقيقا در سطح اسمي آزمون نمي باشد. از مهمترين روش ها مي توان به اين موارد اشاره کرد. بنت3 در سال 1976 آزموني براساس روش نسبت درستنمايي ارائه کرد. همچنين گوپتا و ما4 در سال 1996، رائو و جوز5 در سال 2001 و نيري و رائو6 درسال 2003 آزمون والد را براي اين مساله به کار گرفتند. تسو7 در سال 2009 از آزمون تقريبي نمره8 جهت آزمون برابري ضرايب تغييرات استفاده کرد. اخيرا نيز، ليو و همکاران9 (2010)، جعفري و کاظمي ( 2013) و کريشنامورتي و ميسوک لي10 (2014) به ترتيب روش هايي بر اساس p- مقدار تعميم يافته، بوت استراپ پارامتري و آزمون نسبت درستنمايي ارائه نمودند و خطاي نوع اول و توان آزمون خود را با استفاده از شبيه سازي با روش هاي موجود مقايسه کردند. ما نيز در اين پايان نامه، ابتدا با بهينه سازي روش جعفري و کاظمي (2013) روشي جديد بر پايه والد و بوت استراپ پارامتري جهت آزمون برابري ضرايب تغييرات در چند جامعه نرمال ارائه مي دهيم و سپس با بهينه سازي آزمون والد روش جديد ديگري که عملکرد نسبتا بهتري نسبت به ساير روش ها دارد معرفي مي کنيم. اما آماره آزمون ما متفاوت از جعفري و کاظمي (2013) مي باشد. از آن جهت که در هر مساله آزمون فرض آماري، ارائه روشي که بتواند خطاي نوع اول را به نحو مطلوبي کنترل کند اهميت دارد نخست با استفاده از شبيه سازي، خطاي نوع اول روش جديد پيشنهادي را با روش هاي نيري و رائو (2003)، ليو و همکاران (2010)، کاظمي و جعفري ( 2013 ) و کريشنامورتي و ميسوک لي (2014) مقايسه مي کنيم. نتايج شبيه سازي نشان مي دهد که بر اساس خطاي نوع اول، روش جديد پيشنهادي و کريشنامورتي و ميسوک لي (2014) عملکرد بهتري نسبت به ديگر روش ها دارند. لذا فقط توان آزمون روش جديد پيشنهادي، با روش ارائه شده توسط کريشنامورتي و ميسوک لي (2014) مقايسه مي گردد. نتايج شبيه سازي نشان مي دهد که در برخي موارد، توان آزمون روش جديد پيشنهادي بهتر از روش کريشنامورتي و ميسوک لي (2014) مي باشد. در مواردي نيز عکس اين موضوع اتفاق مي افتد و در برخي موارد ديگر، عملکرد اين دو روش از ديدگاه توان مانند هم است. همچنين لازم به ذکر است که روش جديد پيشنهادي از لحاظ محاسباتي ساده تر از روش کريشنامورتي و ميسوک لي (2014) است. ساختار پايان نامه به صورت زير مي باشد. در فصل 2، روش هاي مختلفي براي آزمون برابري ضرايب تغييرات در چند جامعه نرمال تاکنون ارائه شده است از جمله روش هاي ليو و همکاران (2010)، جعفري و کاظمي (2013)، روش جديد بهينه شده جعفري و کاظمي (2013)، کريشنامورتي و ميسوک لي (2014) و آزمون والد نيري و رائو (2003) را به طور مختصر معرفي مي کنيم. در فصل 3 آزمون جديدي که براساس روش والد و استفاده از روش بوت استراپ پارامتري مي باشد پيشنهاد و شرح مي دهيم. در فصل 4، با استفاده از شبيه سازي به مقايسه آزمون جديد پيشنهادي با روش هاي ديگر از ديدگاه کنترل خطاي نوع اول و توان آزمون مي پردازيم. در همين فصل با ارائه يک مثال به توصيف روش هاي ارائه شده مي پردازيم و با نتيجه گيري مبحث را به پايان خواهيم برد.
در اين قسمت، نخست به معرفي نماد ها و مفاهيم اوليه مورد نياز مي پردازيم. سپس روش هايي را که اخيرا جهت آزمون برابري ضرايب تغييرات در چند جامعه نرمال ارائه شده اند معرفي مي کنيم.
1-2- آشنايي با نماد ها
فرض کنيد X_ij براي i=1,…k;j=1,…n_i نشان دهنده j- امين نمونه از i- امين جامعه نرمال با ميانگين ?_i و واريانس ?_i^2 باشد. ميانگين و واريانس جامعه i- ام به صورت زير برآورد مي شوند:
.X ?_i=1/n_i ?_(j=1)^(n_i)?X_ij و?S_i?^2=1/(n_i-1) ?_(j=1)^(n_i)??(X_ij-X ?_i ? )^2
همچنين x ?_i و ?s_i?^2 را به عنوان مقادير مشاهده شده از X ?_i و ?S_i?^2 در نظر مي گيريم. ضريب تغييرات جامعه i- ام را با ?_i=?_i /?_i نشان مي دهيم. هدف ما انجام آزمون براي فرضيه هاي زير است :
{?(H_0: ?_1=?_2 = … = [email protected]? H?_1:?_i??_j i?j يک حداقل براي)?
واضح است که فرضيه هاي فوق معادل با
{?(H_0: ?_1=?_2 = … = [email protected] H_1:?_i??_j i?j يک حداقل براي)?
است که در آن ?_i=1/?_i مي باشد.
اگر H ماتريس مقابله ها با اندازه (k-1)×k و C برداري k×1 باشد به طوري که
H=(?(?(1&-1&0)…?(0&0)@?(1 &0&-1)…?(0&0)@[email protected]?(1&0&[email protected]&0&0)…?(?(-1&0)@?(0&-1))))_((k-1)×k) و C=?(?(?_1&,?,&?_k ))^’?_(k×1)
آنگاه فرضيه مورد علاقه را مي توان به صورت زير نوشت:
H_0: HC=0 مقابل در H_1:HC?0
در ادامه روش هايي را که اخيرا جهت آزمون فرض H_0 معرفي شده اند بيان مي کنيم.
1-3- p- مقدار تعميم يافته

فرض کنيد Y يک متغير تصادفي از توزيعي با پارامترهاي (?,?) باشد به گونهاي که ? پارامتر مورد علاقه و ? پارامتر مزاحم ميباشد. (پارامتر مزاحم پارامتري است که در توزيع متغير Y وجود دارد اما پارامتر مورد علاقه نيست.)
فرض کنيد علاقهمند به آزمون ?_0:???_0 در مقابل ?_1:?>?_0 هستيم به گونهاي که ?_0 مقداري مشخص و معلوم ميباشد. همچنين فرض کنيد y نشان دهنده مقدار مشاهده شده متغير Y باشد. آماره تعميم يافته ?(Y;y,?,?) که يک کميت تصادفي است و به مقدار مشاهده شده y و پارامترها بستگي دارد را به همراه شرايط زير در نظر بگيريد:
توزيع آماره ?(Y;y,?_0,?) به پارامتر مزاحم ? بستگي نداشته باشد.
مقدار مشاهده شده ?(Y;y,?_0,?) يعني ?(y;y,?_0,?) به پارامتر مزاحم ? بستگي نداشته باشد.
به ازاي y و ? ثابت، P[?(Y;y,?,?)?t] نسبت به ? غير نزولي باشد. (3-2-1)
براساس شرايط فوق p- مقدار تعميم يافته به صورت زير تعريف ميشود:
p-value=P[?(Y;y,?_0,?)?t]
به گونهاي که t=?(y;y,?_0,?) است.
1-4- روش بوت استراپ پارامتري
در اين روش ابتدا پارامتر مجهول مورد علاقه را با توجه به مشاهداتي که در اختيار داريم برآورد و سپس آن را جايگزين پارامتر مجهول مي کنيم و نمونهاي ديگر از توزيع مورد نظر که برآورد پارامتر مجهول از مشاهدات جايگزين آن شده است را توليد ميکنيم. (Efron, 1993). در واقع با نمونه گيري به دفعات زياد با روش بوت استراپ پارامتري، مي توان توزيع آماره اي را که توزيع آن نامعلوم است، تخمين زد.
1-5- معرفي آماره آزمون والد
فرض کنيد H_0:?=?_0 باشد. در حالت کلي اگر Y_(k×1) برداري از متغيرهاي تصادفي باشد به طوري که Y~N_k (?,?) آنگاه
?(Y?-??_0)?^’ ?^(-1) (Y?-??_0)~?_k^2.
و اگر Y~^asy N_k (?,?) آنگاه
?(Y?-??_0)?^’ ?^(-1) (Y?-??_0)~^asy ?_k^2.
فصل دوم: معرفي روش هاي موجود براي آزمودن برابري ضرايب تغييرات در چند جامعه نرمال
2- معرفي روش هاي موجود
روش ليو و همکاران (2010)
روش ليو و همکاران (2010) بر اساس مفهوم کميت هاي تعميم يافته مي باشد (ويرهاندي11، 1995). در اين روش، کميت هاي تعميم يافته براي ?_i و ?_i به صورت زير مي باشند:
R_(?_i )=X ?_i-s_i/S_i (X ?_i-?_i )=x ?_i-1/?(n_i ) s_i T_i
و
R_(?_i )=s_i/S_i ?_i=??(n_i-1) s?_i/U_i
که در آنT_i~t_(n_i-1) و U_i^2~?_(n_i-1)^2. بنابراين کميت تعميم يافته براي ?_i /?_i به صورت
R_(?_i )/R_(?_i ) =(X ?_i-s_i/S_i (X ?_i-?_i ) )/(s_i/S_i ?_i )
مي باشد. همچنين آماره آزمون به صورت زير معرفي مي شود:
.?d?^2=?_R^’ ?_R^(-1) ?_R و ?D?^2=(R_Hc-?_R )^’ ?_R^(-1) (R_Hc-?_R )
که در آن
R_HC=H(R_(?_1 )/R_(?_1 ) ,…,R_(?_k )/R_(?_k ) )^’,
?_R=E(R_HC?(x ?,s) )=H(E( R_(?_1 )/R_(?_1 ) ?(x ?,s) ), …, E( R_(?_k )/R_(?_k ) ?(x ?,s) ))^’,
?_R=Cov(R_HC?(x ?,s) )=Hdiag{Var( R_(?_1 )/R_(?_1 ) ?(x ?,s) ) ,…, Var( R_(?_k )/R_(?_k ) ?(x ?,s) )} H^’.
با توجه به اينکه:
E( R_(?_i )/R_(?_i ) ?(x ?,s) )=x ?_i/(?((n_i-1) ) s_i ) E(U_i )=x ?_i/(?((n_i-1) ) s_i ) ?(n/2)/?((n-1)/2) ?2,
Var( R_(?_i )/R_(?_i ) ?(x ?,s) )=(x ?_i^2)/((n_i-1) s_i^2 ) var(U_i )+1/n_i
=(x ?_i^2)/((n_i-1) s_i^2 ) [n_i-1-(?(n/2)/?((n-1)/2) ?2)^2 ]+1/n_i .
در حالت کلي diag{a_1,…,a_k } نشان دهنده ماتريس قطري k×k است که اعضاي روي قطر اصلي آن a_i ها هستند.
فرض صفر در سطح ? زماني رد مي شود که
P_(H_0 ) (?D?^2??d?^2 )??.
براي جزئيات بيشتر جهت محاسبه احتمال فوق به ليو و همکاران (2010) مراجعه کنيد.
2-3- روش جعفري و کاظمي (2013)
ساختار آماره اين آزمون شبيه به آماره والد مي باشد.اگر C ? و V^* را به صورت زير تعريف کنيم.
C ?=?(?(X ?_1/S_1 &,…,&X ?_k/S_k ))^’?_(k×1), و V^*=diag{1/n_1 ,…,1/n_k }
آنگاه آماره آزمون به صورت زير معرفي مي شود:
Q=(HC ? )^’ [HV^* H^’ ]^(-1) (HC ? ) (1-2)
براي محاسبه ساده آماره فوق نياز به قضيه زير داريم.
قضيه 2-1- اگر A ماتريسي معکوس پذير، d يک بردار و k يک مقدار ثابت باشد آنگاه
(A+kdd^’ )^(-1)=A^(-1)-(kA^(-1) dd^’ A^(-1))/(1+kd^’ A^(-1) d).
اثبات:
براي اثبات قضيه فوق کافي است در عبارت (A+kdd^’ )x=b که در آن x و b بردارهايي با بعد مناسب هستند؛ x را بيابيم. با توجه به عبارت بالا داريم:
x+kA^(-1) dd^’ x=A^(-1) b (*)
و در نتيجه
d^’ x+kd^’ A^(-1) dd^’ x=d^’ A^(-1) b
با توجه با اينکه d^’ x کميتي يک بعدي خواهد بود؛ داريم:
d^’ x(1+kd^’ A^(-1) d)=d^’ A^(-1) b
d^’ x=(d^’ A^(-1) b)/(1+kd^’ A^(-1) d) (**)
با توجه به عبارت (*)، داريم:
x=A^(-1) b-kA^(-1) dd^’ x
و با استفاده از (**)، x برابر است با:
?x=A?^(-1) b-kA^(-1) d (d^’ A^(-1) b)/(1+kd^’ A^(-1) d)=A^(-1) b-(kA^(-1) dd^’ A^(-1) b)/(1+kd^’ A^(-1) d)
=(A^(-1)-(kA^(-1) dd^’ A^(-1))/(1+kd^’ A^(-1) d))b
که نتيجه، حاصل و اثبات تمام مي گردد.
?
حال به راحتي مي توان نشان داد که
HV^* H^’=1/n_1 11^’+diag{1/n_2 ,…,1/n_k },
که در آن 1^’=(1,…,1)^’ است.
و براي محاسبه آماره Q اگر قرار دهيمD=diag{1/n_2 ,…,1/n_k } باتوجه به قضيه 2-1- داريم:
Q=(HC ? )^’ [HV^* H^’ ]^(-1) (HC ? )
=(HC ? )^’ [D^(-1)-(1/n_1 D^(-1) ?11?^’ D^(-1))/(1+1/n_1 1^’ D^(-1) 1)](HC ? )
=(HC ? )^’ D^(-1) (HC ? )-B(HC ? )^’ D^(-1) ?11?^’ D^(-1) (HC ? ),
که در آن B يک مقدار ثابت و برابر است با:
B=(1/n_1 )/(1+1/n_1 1^’ D^(-1) 1).
بنابراين
Q=?_(i=1)^k??n_i ?(? ?_1-? ?_i)?^2 ?-1/(?_(i=1)^k?n_i ) [?_(i=1)^k??n_i ?(? ??_1-? ?_i)?]^2
=? ?_1^2 ?_(i=1)^k?n_i -2? ?_1 ?_(i=1)^k??n_i ? ?_i ?+?_(i=1)^k??n_i ? ?_i^2 ?-(? ?_1^2)/(?_(i=1)^k?n_i ) (?_(i=1)^k?n_i )^2+(2? ?_1)/(?_(i=1)^k?n_i ) ?_(i=1)^k?n_i ?_(i=1)^k??n_i ? ?_i ?-1/(?_(i=1)^k?n_i ) (?_(i=1)^k??n_i ? ?_i ?)^2
=?_(i=1)^k?n_i ?? ?_i?^2-1/n (?_(i=1)^k?n_i ? ?_i )^2
=?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i )^2-1/n (?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i ))^2.
در نتيجه آماره آزمون روش جعفري و کاظمي (2013) به صورت زير خواهد بود:
Q=?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i )^2-1/n (?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i ))^2.
قضيه 2-2- آماره Q تحت فرض صفر، نسبت به پارامتر مقياس پاياست.
اثبات:
با توجه به اينکه ?_i=?_i /?_i ، تحت فرض صفر داريم i=1,…,k ;?_i=????_i. در نتيجه تحت فرض صفرX_ij~N(??_i,?_i^2 ) براي .j=1,…,n_i ; i=1,…,k اگر قرار دهيم Z_ij=(X_ij-??_i)/?_i آنگاه X_ij=Z_ij ?_i+????_i ، X ?_i=Z ?_i ?_i+??_i و S_i^2=(?_i^2)/(n_i-1) ?_(j=1)^(n_i)?(Z_ij-Z ?_i )^2 که در آن Z ?_i~N(0, 1/(n_i )). در نتيجه نسبت X ?_i/S_i، مستقل از ?_i است.
?
فرض H_0 براي مقادير بزرگ Q، رد مي شود. براي محاسبه p- مقدار، از روش بوت استراپ پارامتري استفاده مي شود.
در روش جعفري و کاظمي (2013) نيز توزيع آماره Q با روش بوت استراپ پارامتري تخمين زده مي شود. به اين صورت که نخست، آماره بوت استراپ به صورت زير معرفي مي گردد:
Q_B=?_(i=1)^k?n_i ((X ?_i^B)/(S_i^B ))^2-1/n (?_(i=1)^k?n_i ((X ?_i^B)/(S_i^B )))^2,
که در آن n=?_(i=1)^k?n_i ، X ?_i^B~N(? ?,1/n_i )، ?S_i^2?^B~1/(n_i-1) ?_(n_i-1)^2 و ? ? برآوردگري مناسب براي ? (مقدار مشترک ?_i ها) مي باشد. براي محاسبه p- مقدار، از Q_B تحت H_0 مشاهداتي به دفعات زياد (مثلا 10000 مرتبه) توليد مي شود و نسبت دفعاتي که مقادير توليد شده Q_B از مقدار مشاهده شده Q بيشتر باشد به عنوان برآوردي براي p- مقدار در نظر گرفته مي شود. ذکر اين نکته لازم است که آماره Q تحت فرص صفر نسبت به پارامتر مقياس پاياست. پس بدون از دست دادن کليت مسئله فرض شده است که ?_i=1; i=1,…,k. براي برآورد مقدار مشترک ?_i ها، يک برآوردگر معقول، ميانگين وزني X ?_i/S_i ها يعني (?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i ))?n است. اين برآوردگر توسط جعفري و کاظمي (2013) در حالتي که فقط اطلاعات ميانگين و واريانس نمونه اي در دسترس مي باشد توصيه شده است. اما همانطور که در شبيه سازي خواهيم ديد؛ در صورت استفاده از اين برآوردگر وضعيت خوبي در کنترل خطاي نوع اول نخواهيم داشت ولي با استفاده از برآورد درستنمايي ماکزيمم ? نتايج کمي بهتر خواهد بود. اما برآورد درستنمايي ماکزيمم براي ? و ?_i ها به صورت صريح بدست نمي آيند و براي يافتن آنها بايد از روشهاي عددي استفاده نمود. زيرا تابع درستنمايي تحت فرض صفر به صورت زير حاصل مي گردد:
L_0=?_(i=1)^k?(1/(?2? ??_i ))^(n_i ) e^(-?_(i=1)^k??_(j=1)^(n_i)??1/(2?^2 ?_i^2 ) (X_ij-?_i )?^2 )
همچنين مشتقات تابع درستنمايي نسبت به ?_i و ? به صورت زير مي باشند:
?Ln(L_0 )/( ??_i )=-n_i/?_i +?_(j=1)^(n_i)?(X_ij (X_ij-?_i ))/(?^2 ?_i^3 )
و
?Ln(L_0 )/( ??)=-n_i/?+?_(j=1)^(n_i)?(X_ij-?_i )^2/(?^3 ?_i^2 ).
واضح است که با مساوي صفر قرار دادن عبارت فوق، برآورد درستنمايي ماکزيمم براي ? و ?_i ها به صورت صريح بدست نمي آيند.
نکته ديگر در مورد آماره Q اينست که به نظر مي آيد اين آماره بر خلاف ادعاي جعفري و کاظمي (2013) به صورت مجانبي تحت فرض صفر داراي توزيع کاي مربع نمي باشد. با استفاده از واريانس تقريبي X ?_i/S_i مي توان نشان داد با در نظر گرفتن ضريب 2/(2+?^2) براي Q، اين آماره به صورت مجانبي تحت فرض صفر داراي توزيع کاي دو با k-1 درجه آزادي مي شود يعني
Q_c=(2/(2+?^2 ))Q~^asy ?_((k-1))^2.
اين مطلب را در قالب قضيه زير بيان و اثبات مي کنيم.
قضيه 3-1- Q_c تحت فرض صفر به صورت مجانبي داراي توزيع کاي مربع با k-1 درجه آزادي است.
اثبات:
با استفاده از بسط تيلور براي توابع دو متغيره، مي توان اميد رياضي و واريانس تقريبي (از مرتبه n^(-1)) X ?_i/S_i را به صورت زير بدست آورد:
E(X ?_i/S_i )=E(? ?_i )=?_i+O(n^(-1) )
Var(X ?_i/S_i )=Var(? ?_i )=((2+??_i?^2)/(2n_i ))+O(n^(-1) ).

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

براي اينکه Q تحت فرض صفر به صورت مجانبي داراي توزيع کاي مربع با k-1 درجه آزادي باشد بايد اميد رياضي آماره Q برابر با مقدار k-1 شود. پس
E_(H_0 ) (Q)=E_(H_0 ) [?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i )^2-1/n (?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i ))^2 ]=?_(i=1)^k?n_i ?E_(H_0 ) (X ?_i/S_i )?^2-1/n E_(H_0 ) (?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i ))^2
=?_(i=1)^k?n_i [Var(X ?_i/S_i )+E_(H_0)^2 (X ?_i/S_i )]-1/n [Var(?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i ))+E_(H_0)^2 (?_(i=1)^k?n_i (X ?_i/S_i ))]
=?_(i=1)^k?n_i Var(X ?_i/S_i )+??_(i=1)^k?n_i E?_(H_0)^2 (X ?_i/S_i )-1/n ?_(i=1)^k?n_i^2 Var(X ?_i/S_i )-1/n [?_(i=1)^k?n_i ?E_H?_0 (X ?_i/S_i )]^2
=?_(i=1)^k?(2+?^2)/2+?^2 ?_(i=1)^k?n_i -(2+?^2)/2n ?_(i=1)^k?n_i -?^2/n (?_(i=1)^k?n_i )^2
=k+?^2/2 k+n?^2-(2+?^2)/2-n?^2=k+?^2/2 k-1-?^2/2
=k-1+?^2/2 (k-1)=(k-1)(1+?^2/2)=(k-1)((2+?^2)/2).
در نتيجه
E(2/(2+?^2 ) Q)=k-1.
پس
Q_c=(2/(2+?^2 ))Q~^asy ?_((k-1))^2.
?
2-4- روش بهينه شده جعفري و کاظمي (2013)
در اين قسمت با بهينه سازي روش جعفري و کاظمي (2013)، روشي جديد براي آزمون برابري ضرايب تغييرات در چند جامعه نرمال ارائه مي شود. به راحتي مي توان ديد که X ?_i/S_i و S_i به ترتيب براي ?_i و ?_i برآوردگرهاي اريب هستند. لذا ما به جاي اين دو برآوردگر از ? ?_i=X ?_i/?d_i S?_i
و
? ?_i=s_i ?((n_i-1)/2) [(?((n_i-1)/2))/(?(n_i/2))]
استفاده مي کنيم که در آن d_i=?((n_i-1)/2) [(?(n_i/2-1))/(?((n_i-1)/2))] است. ? ?_i و ? ?_i براي ?_i و ?_i برآوردگرهاي ناريب با کمترين واريانس (UMVUE) هستند. در اين روش بر خلاف جعفري و کاظمي (2013) به منظور دقت بيشتر واريانس دقيق ? ?_i محاسبه مي شود.
Var(? ?_i )=((n_i-1)/(n_i-3))((?_i^2)/(d_i^2 )+1/(d_i^2 n_i ))-?_i^2,
و يک برآوردگر UMVU براي Var(? ?_i ) عبارت است از:
V_i=(X ?_i/S_i )^2 (1/(d_i^2 )-(n_i-1)/(n_i-3))+1/n_i .
با تعريف C ? و V به صورت
C ?=?(?(X ?_1/?d_1 S?_1 &,…,&X ?_k/?d_k S?_k ))^’?_(k×1) و V=diag{V_1,…,V_k}
مي توان آماره آزمون اصلاح شده را بر اساس روش والد به صورت زير تعريف نمود.
T=(HC ? )^’ [HVH^’ ]^(-1) (HC ? )
=?_(i=1)^k??W_i ? ?_i^2 ?-1/(?_(i=1)^k?W_i ) (?_(i=1)^k??W_i ? ?_i ?)^2,
که در آن W_i=1/V_i مي باشد. نحوه محاسبه آماره T با استفاده از قضيه 2-1 و همانند روش ارائه شده در قسمت 2-3 مي باشد. در نتيجه آماره بوت استراپ در روش جعفري و کاظمي (2013) به صورت زير تغيير مي يابد.
T_B=?_(i=1)^k?W_i^B ((X ?_i^B)/(?d_i S?_i^B ))^2-1/(?_(i=1)^k?W_i^B ) (?_(i=1)^k?W_i^B ((X ?_i^B)/(?d_i S?_i^B )))^2
که در آن W_i^B=1/(V_i^B ) ، V_i^B=((X ?_i^B)/(S_i^B ))^2 (1/(d_i^2 )-(n_i-1)/(n_i-3))+1/n_i ، X ?_i^B~N(? ?,1/n_i ) ، S_i^2B~1/(n_i-1) ?_(n_i-1)^2 و ? ? برآوردگري مناسب براي برآورد مقدار مشترک ضرايب تغييرات است که بر خلاف روش جعفري و کاظمي (2013) تفاوتي در استقاده از برآوردگر ماکزيمم درستنمايي يا برآوردگر وزني ? ? ?_w=(?_(i=1)^k?W_i (X ?_i/?d_i S?_i ))/(?_(i=1)^k?W_i ) نيست و البته پرواضح است که استفاده از ? ? ?_w در عمل بسيار ساده تر خواهد بود چرا که برآورد ماکزيمم درستنمايي مقدار مشترک ضرايب تغييرات به صورت صريح بدست نمي آيد و بايد با روش هاي عددي محاسبه گردد. آماره T نيز با اثبات مشابه با قضيه 2-2، تحت فرض صفر نسبت به پارامتر مقياس پاياست لذا فرض شده است ?_i=1; i=1,…,k. فرض صفر زماني رد مي شود که
P(T_B?t)??,
که در آن t مقدار مشاهده شده T مي باشد.
در روش بهينه شده جعفري و کاظمي، بر خلاف روش جعفري و کاظمي (2013)، آماره T تحت فرض صفر به صورت مجانبي داراي توزيع خي دو با k-1 درجه آزادي است. اين مطلب با استفاده از قضيه زير قابل اثبات است.
قضيه 2-4-1 فرض کنيد X_i1,…X_(in_i ) نمونه اي تصادفي از توزيع F(.) با ميانگين ?_i و واريانس ?_i^2 باشد. آنگاه
?n_i ((?(X [email protected]_i^2 ))-(?([email protected]?_i^2 ))) ?(??D ) N((?([email protected])),[?(?_i^2&[email protected]?_i3&?_i4-?_i^4 )])
که در آن X ?_i=?_(j=1)^(n_i)?X_ij ، ?S_i?^2=1/n_i ?_(j=1)^(n_i)??(X_ij-X ?_i ? )^2 و E(X_i^r )=?_ir.
اثبات:
باتوجه به قضيه حد مرکزي براحتي مي توان نشان داد که
(*) ?n_i (X ?_i-?_i)?(??D ) N(0,?_i^2).
همچنين مي دانيم که ?S_i?^2=(X^2 ) ?_i-X ?_i. بدليل اينکه ?S_i?^2 به پارامتر مکان بستگي ندارد بدون از دست دادن کليت مسئله فرض مي کنيم ?_i=0. بنابراين E((X^2 ) ?_i )=?_i^2 و E(X ?_i )=0. بار ديگر با استفاده از قضيه حد مرکزي داريم:
?n_i ((?(X [email protected](X_i^2 ) ? ))-(?([email protected]?_i^2 ))) ?(??D ) N((?([email protected])),?)
که در آن ?=[?(V(X_i)&Cov(X_i,X_i^2)@Cov(X_i,X_i^2)&V(X_i^2))].
تابع g: R^2 ?(?? ) R را به صورت g(?([email protected]))=y-x^2 تعريف مي کنيم. با استفاده از قضيه اسلاتسکي داريم:
?n_i (g(?(X [email protected](X_i^2 ) ? ))-g(?([email protected]?_i^2 ))) ?(??D ) N((?([email protected])),[g^’ (?([email protected]?_i^2 ))]?[g^’ (?([email protected]?_i^2 ))]^T ),
که در آن g^’ (?([email protected]))=[?(?g/?x&?g/?y)]. بنابراين
(**) ?n_i (?S_i?^2-?_i^2)?(??D ) N(0,?_i4-?_i^4)
با درنظر گرفتن عبارات (*) و (**) اثبات کامل مي شود.
?
تابع h: R^2 ?(?? ) R را به صورت h(?([email protected]))=x/(?y) در نظر بگيريد. با استفاده از عبارت (**) و قضيه اسلاتسکي داريم:
?(n_i ) (X ?_i/S_i -?_i/?_i )=?(n_i ) (? ?_i-?_i ) ?(??D ) N((?([email protected])),[h^’ (?([email protected]?_i^2 ))]?[h^’ (?([email protected]?_i^2 ))]^T )
بنابراين X ?_i/S_i به صورت مجانبي داراي توزيع نرمال و به تبع آن X ?_i/d_i S_i به صورت مجانبي داراي توزيع نرمال است. لذا با اندک تفاوت در جزييات داريم:
HC ?~^asy N(HC,HVH^’ ).
در نتيجه با استفاده از تعريف آماره والد ارايه شده در 1-5- آماره T تحت فرض صفر به صورت مجانبي داراي توزيع خي دو با k-1 درجه آزادي است.
ضمن اينکه شبيه سازي ها نشان مي دهد که اين روش عملکرد مناسبتري در کنترل خطاي نوع اول نسبت به روش جعفري و کاظمي (2013) دارد (قسمت 4-1، جدول 1و2را ملاحظه کنيد).
فصل سوم:روش جديد پيشنهادي
3- روش جديد پيشنهادي
3-1- روش جديد پيشنهادي
نيري و رائو12(2003) با استفاده از بسط تيلورX ?_i?S_i ، برآورد واريانس تقريبي آن را (از مرتبه n^(-1)) به صورت زير محاسبه نمودند:
R_i=(2+(X ?_i/S_i )^2)/(2n_i ).
اگر قرار دهيم R=diag{R_1,…,R_k} آنگاه آماره آزمون بر اساس ايده والد به صورت زير خواهد بود:
WT=(HC ? )^’ [HRH^’ ]^(-1) (HC ? )
=?_(i=1)^k?L_i (X ?_i/S_i )^2-1/(?_(i=1)^k?L_i ) (?_(i=1)^k?L_i (X ?_i/S_i ))^2. (3-1)
که در آن L_i=1/R_i . نحوه بدست آمدن آماره WT با استفاده از قضيه 2-1 و شبيه روش ارائه شده در قسمت 2-3 مي باشد. نيري و رائو (2003) نشان دادند که WT تحت فرض صفر، به صورت مجانبي داراي توزيع کاي دو با k-1 درجه آزادي است و فرض صفر زماني رد مي شود که WT>?_((k-1))^2 (?). اين آماره از لحاظ محاسباتي راحت است ولي همچنان که خواهيم ديد از ديدگاه خطاي نوع اول عملکرد مطلوبي براي حجم نمونه هاي کم ندارد. روش جديد پيشنهادي ما استفاده از تکنيک بوت استراپ پارامتري براي آمارهWT مي باشد. يعني آماره بوت استراپ را به صورت زير در نظر مي گيريم.
WT_B=?_(i=1)^k?L_i^B ((X ?_i^B)/(S_i^B ))^2-1/(?_(i=1)^k?L_i^B ) (?_(i=1)^k?L_i^B ((X ?_i^B)/(S_i^B )))^2, (3-2)
که در آنL_i^B=1/(R_i^B )، R_i^B=((2+((X ?_i^B)/(S_i^B ) )^2 ) )?(2n_i )، X ?_i^B~N(? ?,1/n_i ) ، S_i^2B~1/(n_i-1) ?_((n_i-1))^2 و ? ? برآوردگري مناسب براي مقدار مشترک ?_i ها مي باشد. اين برآوردگر مي تواند ميانگين وزني X ?_i/S_i ها يعني ? ? ?_L=(?_(i=1)^k?L_i (X ?_i/S_i ))?(?_(i=1)^k?L_i ) يا برآورد ماکزيمم درستنمايي ? باشد. شبيه سازي ها نشان مي دهند بر خلاف روش کاظمي و جعفري (2013)، در روش جديد پيشنهادي ما تفاوتي در استفاده از ? ? ?_L و برآوردگر ماکزيمم درستنمايي ? نيست. لذا به مانند روش کاظمي و جعفري (2013) مجبور به يافتن برآوردگر ماکزيمم درستنمايي با استفاده از روشهاي عددي نيستيم. واضح است استفاده از ? ? ?_L به عنوان برآورد ?، بسيار راحت تر خواهد بود. لازم به ذکر است که آماره WT با اثباتي شبيه به قضيه 2-2 نسبت به پارامتر مقياس پايا است. پس بدون از دست دادن کليت مسئله فرض شده است که ?_i=1, i=1,…,k. همچنين مانند قسمت 2-4 مي توان نشان داد که برخلاف آماره ارائه شده توسط جعفري و کاظمي (2013)، WT تحت فرض صفر داراي توزيع مجانبي کاي دو با k-1 درجه آزادي است. بنابراين در روش پيشنهادي ما، در سطح ? فرض صفر رد مي شود اگر
P_(H_0 ) (?WT?_B?wt)??, (3-3)
که در آن wt مقدار مشاهده شده ي WT است. پيشنهاد ما براي محاسبه p- مقدار استفاده از روش بوت استراپ پارامتري است. يعني به دفعات زياد از ?WT?_B تحت H_0 مشاهده توليد مي کنيم و تعداد دفعاتي که مشاهدات توليد شده بيشتر از wt هستند به عنوان برآوردي براي p- مقدار ارائه مي شود. (براي الگوريتم محاسبه P- مقدار ، فصل 4 را ملاحظه کنيد).
کريشنامورتي و ميسوک لي نيز در سال 2014 آزمون بهينه شده ي نسبت درستنمايي را براي اين مسئله بکار گرفتند که بدليل عملکرد نسبتا مناسب اين روش، ما آن را نيز به اختصار معرفي مي کنيم.
3-2- روش کريشنامورتي و ميسوک لي (2014)
در اين روش آماره آزمون نسبت درستنمايي بهينه سازي شده است. لگاريتم تابع درستنمايي بر اساس k جامعه نرمال تحت فرض صفر و بعد از حذف نمودن مقادير ثابت به صورت زير مي باشد:
l(?,?)=-?_(i=1)^k??n_i ln??(?_i ?) -?_(i=1)^k?(n_i (? ?_i^2+(X ?_i-?_i )^2 ))/(2?^2 ?_i^2 ),
که در آن ? ?_i^2=(n_i-1)/n_i S_i^2 و ? مقدار مشترک ضرايب تغييرات تحت H_0 مي باشد. همانطور که قبلا ذکر شد برآورد ماکزيمم درستنمايي ? و ?_i به صورت صريح قابل محاسبه نيستند و براي بدست آوردن آن ها بايد از روشهاي عددي استفاده نمود. در نهايت آماره آزمون نسبت درستنمايي به صورت زير حاصل مي گردد:
?=2[ln?(? ? ?_1,? ? ?_1,…,? ? ?_k,? ? ?_k )-ln??(? ?_1,? ?_1,…,? ?_1,? ?_1 )] ?
=-2[?_(i=1)^k??n_i ln??((? ?_i ? ?)/(? ?_i^2 )) ],
که در آن ? ?_i و ? ? برآوردگر هاي ماکزيمم درستنمايي تحت فرض صفر براي ?_i و ? و ? ? ?_i,? ? ?_i برآوردگر هاي ماکزيمم درستنمايي تحت فضاي کلي پارامتر هستند. براي جزييات بيشتر به کريشنامورتي و ميسوک لي (2014)مراجعه گردد. اگر ميانگين و واريانس ? را به ترتيب با m(?) و v(?) نشان دهيم آماره بهينه شده ي روش نسبت درستنمايي به صورت زير خواهد بود:
?_M=?(2(k-1) ) ((?-m(?))/?(v(?) ))+(k-1),
که تحت H_0 داراي توزيع تقريبي?_((k-1))^2 مي باشد. اما چون بدست آوردن m(?) و v(?) مشکل مي باشد با استفاده از نمونه گيري به روش بوت استراپ پارامتري مي توان آنها را برآورد کرد. به اين صورت که نخست از X ?_i^B~N(? ?_i,(? ?_i ? ?)/n_i ) و S_i^2B~(? ?_i ? ?)/n_i ?_((n_i-1))^2 مشاهداتي توليد و کميت زير محاسبه مي شود
?^B=-2[?_(i=1)^k??n_i ln??((? ?_i^B ? ?^B)/(? ?_i^2B )) ],
که در آن ? ?_i^B، ? ?_i^2B و ? ?^B برآوردگر هاي ماکزيمم درستنمايي بر اساس مشاهدات بوت استراپ توليد شده از X ?_i^B و S_i^2B هستند. سپس ميانگين و واريانس ?^B ها يعني m(?^B) و v(?^B)، به ترتيب تقريبي براي m(?) و v(?) خواهند بود که اين خود مستلزم استفاده مجدد از روش درستنمايي ماکزيمم (و روش هاي عددي جهت يافتن آن ها) در نمونه هاي بوت استراپ مي باشد. در روش کريشنامورتي و ميسوک لي (2014) در سطح ? فرض صفر زماني رد مي شود وقتي که
?_M>?_((k-1))^2 (?),
که در آن ?_((k-1))^2 (?) چندک _(1-?)ام از توزيع کاي مربع با k-1 در جه آزادي است.
3-3- تفاوت هاي روش جديد پيشنهادي با دو روش اخير
در اينجا لازم است که تفاوت هاي عمده روش جديد پيشنهادي ما با روش جعفري و کاظمي (2013) و کريشنامورتي و ميسوک لي (2014) بيان گردد.
الف- بر خلاف ظاهر آماره آزمون جعفري و کاظمي (2013) و همچنين بر خلاف آنچه که جعفري و کاظمي (2013) در مقاله خود بيان داشته اند به نظر مي آيد آماره Q در عبارت (1) تحت فرض H_0 داراي توزيع خي دو با k-1 درجه آزادي نمي باشد. با استفاده از واريانس تقريبي X ?_i/S_i مي توان نشان داد با در نظر گرفتن ضريب 2/2+?^2 براي Q، اين آماره به صورت مجانبي تحت فرض صفر داراي توزيع خي دو با k-1 درجه آزادي مي شود يعني
Q_c=(2/(2+?^2 ))Q~^asy ?_((k-1))^2.
اين در حالي است که آماره آزمون پيشنهادي ما بر اساس ساختار آماره آزمون والد تحت فرض H_0 داراي توزيع مجانبي خي دو با k-1 درجه آزادي است. اين نتيجه که آماره جعفري و کاظمي (2013) داراي توزيع خي دو نيست ابتدا در شبيه سازي ها بدست آمد. در شبيه سازي مشاهده گرديد که آماره جعفري و کاظمي (2013) مقادير بسيار بزرگي بدست مي دهد که سازگاري با مقادير توزيع خي دو مثلا با 4 يا 5 درجه آزادي ندارد.
براي مثال زماني که n=(100,100,100) و (0/1,0/1,0/1) ?= از آماره جعفري و کاظمي (2013) قبل و بعد از ضرب نمودن ضريب در آماره، 10000 مشاهده توليد شده است و بافت نگار آن ها را رسم کرده ايم و آن را با بافت نگار حاصل از 10000 مقدار مشاهده شده از توزيع خي دو با k-1=2 درجه آزادي مقايسه مي نماييم.
شکل1. تخمين چگالي آماره جعفري و کاظمي (2013)


پاسخی بگذارید