1- استاد راهنماي پايان‌نامهدکتر حسن نحوي

2- استاد مشاور پايان‌نامهدکتر عليرضا شهيدي

3- استاد داور دکتر سعيد ضياييراد

4- استاد داور دکتر حميدرضا ميردامادي

سرپرست تحصيلات تکميلي دانشکده دکتر محمدرضا سليمپور

خدا را شاکرم که به اين بندهي حقير لطف و محبّت فرمود که با توکّل بر او و ترحّم او اين پروژه به سرانجام رسيد.
بر خود لازم ميدانم از پدر و مادرم که در تمامي مراحل زندگي پشتيبان من بودهاند و هيچگاه از لطف و محبت خود دريغ نکردهاند و از همسر مهربانم که مهربانيش آرامشبخش لحظاتم است و از برادران و خواهرانم که با کمکهايشان بر انگيزهي من در انجام پروژه ميافزودند، تشکر کنم.
از جناب آقاي دکتر حسن نحوي که راهنماييهاي ايشان در حين انجام پروژه کارساز بوده و کار در کنار ايشان باعث افتخار من بود تشکر مينمايم.
از دکتر عليرضا شهيدي که از راهنماييهاي علمي ايشان در حين پروژه استفاده کردم نيز تشکر بهعمل ميآورم.

کليه‌ي حقوق مادي مترتب بر نتايج مطالعات، ابتکارات و نوآوري‌هاي ناشي از تحقيق موضوع اين پايان‌نامه (رساله) متعلق به دانشگاه صنعتي اصفهان است.

تقديم به پدر و مادر عزيزم:
که قلب آكنده از مهر پدرم واشك و دعاي مادرم با که باليدنم بخشيد

تقديم به همسر مهربانم:
که با حضور روح بخشش باعث التيام آلامم شد.

تقديم به برادران و خواهرانم:
که همواره با حمايتهاي بي دريغشان تکيه گاه من در مواجهه با مشکلات بوده اند.

فهرست
عنوانصفحه
چکيده1
فصل اول
مقدمه2
1- 1 مقدمهاي بر نانوکامپوزيتهاي گرافني2
1-1-1 تاريخچه:2
1-1-2 معرفي:3
1-1-3 روشهاي ساخت گرافن4
1-1-4 خواص:6
1-1-5 کاربردها:8
1-2 مقدمهاي بر روشهاي تحليل مواد نانوساختار:8
1-2-1 تئوري تنش دوگانه9
1-2-2 تئوري الاستيسيتهي غيرمحلي ارينگن9
1-2-3 تئوري گراديان کرنش-اينرسي10
1-3 مروري بر پژوهشهاي انجام شده 11
1-4معرفي پاياننامهي کنوني و اهداف آن13
فصل دوم
معادلات حرکت14
2-1فرمولبندي معادلهي حرکت نانوصفحه14
2-2 روش مربعات ديفرانسيلي بهبوديافته25
2-3 فرم عادي معادلات بهدست آمده از تئوري گراديان کرنش-اينرسي28
فصل سوم

نتيجههاي عددي29
3-1 مقدمه29
3-2 اعتبارسنجي روش حل30
3-3 بررسي اثرات تعداد نقاط شبکهبندي بر فرکانسهاي طبيعي سازه30
3-4 بررسي اثرات پارامترهاي اندازه در تئوري گراديان کرنش-اينرسي بر فرکانس سازه31
3-5 بررسي اثرات نيروي اعمالي بر فرکانسهاي سازه36
3-6 بررسي تأثير ضرايب وينکلر و پاسترناک بر فرکانسهاي طبيعي37
3-7 بررسي اثرات تغيير دما بر فرکانسهاي طبيعي سازه39
3-8 شکل مودهاي سازه40
فصل چهارم
نتيجهگيري و پيشنهادات42
4-1 مقدمه42
4-2 نتيجهگيري42
4-3 پيشنهادات43
مراجع44
پيوست الف
فرم عادي معادلات بهدست آمده از تئوري گراديان کرنش-اينرسي48

چکيده
در بسياري از کاربردها گرافن (تکلايه يا چندلايه) درون ماتريس پليمري به صورت کامپوزيت مورد استفاده قرار ميگيرد. در اين پژوهش گرافن ايدهآل با شکل پيوندي ششضلعي بين اتمها، واقع در ماتريس پليمري، با شرايط مرزي مختلف شامل گيردار و ساده تحت بارگذاري فشاري خارجي دومحوره و بارگذاري حرارتي مورد بررسي قرار ميگيرد. اين کامپوزيت به شکل تکلايه در نظر گرفته ميشود.
براي مدلسازي ابتدا جابهجاييها با استفاده از تئوري تغييرشکل برشي مرتبه سوم تخمين زده ميشوند و با استفاده از دو مدل وينکلر و پاسترناک ماتريس پليمري مدلسازي خواهد شد. با استفاده از تئوري گراديان کرنش-اينرسي معادلات تعادل ديناميکي بهدست آمده و با استفاده از روش مربعات ديفرانسيلي بهبود يافته معادلات حل ميشوند. توزيع دما در سطح سازه با تابعيت خطي نسبت به طول و عرض صفحه، و به شکل بار گسترده فرض ميشود. فرکانسهاي طبيعي و شکل مودهاي مربوطه که وابسته به پارامترهاي سيستماند در دماهاي مختلف محاسبه ميگردد و اثر پارامترهايي مانند ضرايب وينکلر و پاسترناک، پارامترهاي گراديان کرنش-اينرسي و همچنين تعداد نقاط شبکهبندي مورد بررسي قرار ميگيرد. از فرکانسهاي طبيعي بسيار بالاي بهدست آمده در اين پژوهش ميتوان سختي بالاي سيستم را نتيجه گرفت.1

فصل اول
مقدمه

1-1 مقدمهاي بر نانوکامپوزيتهاي گرافني
1-1-1 تاريخچه:
در گرافيت2 (يکي ديگر از آلوتروپهاي کربن)، هر کدام از اتمهاي چهارظرفيتي کربن با سه پيوند کووالانسي به سه اتم کربن ديگر متصل شدهاند و يک شبکه گسترده را تشکيل دادهاند. اين لايه خود بر روي لايهاي کاملا مشابه قرار گرفتهاست و به اين ترتيب، چهارمين الکترون ظرفيت نيز يک پيوند واندروالسي که ضعيفتر از کووالانسي هست تشکيل ميدهد. به همين دليل لايههاي گرافيت به راحتي روي هم سر ميخورند و ميتوانند در نوک مداد بهکار بروند. گرافن مادهاي است که در آن تنها يکي از اين لايههاي گرافيت وجود دارد و به عبارتي چهارمين الکترون پيوندي کربن، به عنوان الکترون آزاد باقي ماندهاست.
هرچند نخستين بار در سال 1947 فيليپ والاس3 دربارهي گرافن4 نوشت و از آن زمان تلاشهاي زيادي براي ساخت آن صورت گرفتهبود اما، قضيه مرمين – وانگر5 در مکانيک آماري و نظريه ميدانهاي کوانتومي وجود داشت که ساخت يک ماده دوبعدي را غيرممکن و غيرپايدار ميدانست. اما به هر حال در سال 2004، آندره گايم6 و کنستانتين نووسلف7، از دانشگاه منچستر موفق به ساخت اين ماده شده و نشان دادند که قضيه مرمين – وانگر نميتواند کاملا درست باشد. جايزه نوبل فيزيک 2010 نيز به خاطر ساخت مادهاي دوبعدي به اين دو دانشمند تعلق گرفت.
1-1-2 معرفي:
گرافن ساختار دو بعدي از يک لايه منفرد شبکه لانه زنبوري کربني ميباشد. در گرافن، هر اتم کربن با سه اتم کربن ديگر پيوند دادهاست. اين سه پيوند در يک صفحه قرار دارند و زواياي بين آنها با يکديگر مساوي و برابر با ?120 است. در اين حالت، اتمهاي کربن در وضعيتي قرار مي‏گيرند که شبکهاي از ششضلعيهاي منتظم را ايجاد ميکنند (شکل 1-1).

شکل 1-1 ساختار اتمي صفحه گرافن: در اين شکل اتم‏هاي کربن با نقاط سياه و پيوندها با نقطه چين نمايش داده شده‏اند
البته اين ايدهآلترين حالت يک صفحهي گرافن است. در برخي مواقع، شکل اين صفحه به گونهاي تغيير مي‏کند که در آن پنجضلعيها و هفتضلعيهايي نيز ايجاد ميشود.
گرافن به علت داشتن خواص فوقالعاده در رسانندگي الکتريکي و رسانندگي گرمايي، چگالي بالا و تحرک پذيري حاملهاي بار، رسانندگي اپتيکي [1] و خواص مکانيکي [2] به ماده‌اي منحصربفرد تبديل شده است. اين سامانه جديد حالت جامد به واسطه اين خواص فوقالعاده به عنوان کانديد بسيار مناسب براي جايگزيني سيليکان در نسل بعدي قطعه‌هاي فوتونيکي و الکترونيکي در نظر گرفته شده است و از اين رو توجه کم سابقهاي را در تحقيقات بنيادي و کاربردي به خود جلب کرده است. طول پيوند کربن ـ کربن در گرافن در حدود 0.142 نانومتر است.
ساختار زيربنايي براي ساخت نانو ساختارهاي کربني، تک لايه گرافن است که اگر بر روي هم قرار بگيرند توده سهبعدي گرافيت را تشکيل ميدهند که بر هم کنش بين اين صفحات از نوع واندروالسي با فاصلهي بين صفحهاي 0.335 نانومتر مي‌باشد. اگر تکلايه گرافيتي حول محوري لوله شود نانولولهکربني شبهيکبعدي واگر به صورت کروي پيچانده شود فلورين شبهصفربعدي را شکل مي‌دهد. لايه‌هاي گرافيني از 5 تا 10 لايه را به نام گرافن کم لايه و بين 20 تا 30 لايه را به نام گرافن چند لايه، گرافن ضخيم و يا نانوبلورهاي نازک گرافيتي، مي‌نامند. گرافن خالص تک لايه ازخود خواص شبه فلزي نشان مي‌دهد [3].
1-1-3 روشهاي ساخت گرافن
امروزه روشهاي بسيار متنوعي براي ساخت گرافن بکار برده ميشود که از متداولترين آنها ميتوان روشهاي لايهبرداري مکانيکي، لايهبرداري شيميايي، سنتز شيميايي و رسوب بخار شيميايي8 را نام برد. برخي روشهاي ديگري همانند شکافتن نانولولههايکربني [4] و ساخت با امواج ماکرويو [5] نيز اخيرا بکاربرده شدهاند. يک نماي کلي از روشهاي ساخت گرافن در زير آمده است:
a. از پايين به بالا (از اتم کربن به صفحه گرافن)
* شکافت گرمايي
* رسوب بخار شيميايي [6]
o پلاسما
o گرمايي
b. از بالا به پايين (از گرافيت به صفحه گرافن)
* لايه برداري مکانيکي [7]
o چسب نواري
o تيزي نوک ميکروسکوپ نيروي اتمي9
* لايه برداري شيميايي [8]
* سنتز شيميايي [9]
o امواج فرا صوتي
o روش شيميايي

در سال 1975گروه لانگ10 [10] براي اولين بار گرافيت کملايه روي سطح بلور پلاتين را با استفاده از روش رسوب بخار شيميايي توليد کردند.
در سال 1999 گروه لو11 [11] با استفاده از تيزي نوک ميکروسکوپ نيروي اتمي، لايه برداري مکانيکي را بر روي يک گرافيت پيروليتي به منظور تهيه گرافن تک لايه انجام دادند. با اين وجود، گرافن تکلايه براي اولين بار در سال2004 توسط گروه نووسلف توليد و گزارش شد. آن‌ها از چسبنواري براي جدا کردن لايههاي گرافن از سطح زيرلايه استفاده کردند. اين روش توانايي و قابليت توليد لايه‌هاي متنوع گرافن را دارد و علاوه بر آن، آسان نيز هست. روش لايه برداري مکانيکي توسط قابليت توليد لايه‌هاي گرافيتي کم لايه و چند لايه را دارد اما ضخامت گرافيت بهدست آمده توسط اين روش برابر با 10 نانو متر است که تقريبا برابر با 30 لايه گرافن تکلايه است.
در روش لايه برداري شميايي، فلزات قليايي بين صفحات گرافيت پراکنده شده در محلول، قرار مي‌گيرند. به طور مشابه روش سنتز شيميايي شامل اکسيد گرافيت پراکنده در محلول بهدست آمده از کاهش هيدروژن است. توليد گرافن توسط اين روش يکي از بهترين روش‌ها براي توليد گرافن در ابعاد بزرگ است. در اين روش کربني که بوسيله گرما جدا شده بر روي سطح يک فلز فعال قرار مي‌گيرد و در دماي بالا و تحت فشار اتمسفر يا فشار کم، يک شبکه لانه زنبوري تشکيل مي‌دهد. از آنجايي که اين روش در يک کوره گرمايي انجام مي‌گيرد آن را روش رسوب بخار شيميايي گرمايي مي‌نامند. هنگاميکه اين روش شامل رشد به کمک پلاسما باشد، روش رسوب بخار شيميايي پلاسماي غني شده ناميده مي‌شود.
هريک از اين روش‌ها مزايا و معايب خاص خود را دارند، به عنوان مثال روش لايه برداري مکانيکي توانايي و قابليت ساخت گرافن يک لايه تا چند لايه را دارد اما همانندي نمونه هاي بهدست آمده بسيار پايين است، همچنين ساخت گرافن در ابعاد بزرگ يکي از چالشهاي پيش روي اين روش است. براي تهيه گرافن تک لايه و چند لايه مي‌توان از روش چسب نواري استفاده کرد اما تحقيقات گسترده‌ي بيشتري براي توسعه اين روش جهت استفاده در قطعه‌هاي الکترواپتيکي لازم است. روش‌هاي سنتز شيميايي از روش‌هاي دماي پايين هستندکه اين ويژگي موجب مي‌شود ساخت گرافن بر روي انواع زير لايه‌هاي با دماي محيط، به ويژه زيرلايه‌هاي پليمري آسان‌تر شود؛ با اين حال، همگني و يکساني گرافن توليد شده در ابعاد بزرگ، حاصل از اين روش، مطلوب نيست. از سوي ديگر ساخت گرافن از اکسيدهاي گرافن کاهش يافته اغلب به علت نقص در فرايند کاهش موجب ناکاملي درخواص الکتروني گرافن مي‌شود. برآرايي گرافن وگرافيت سازي گرمايي بر روي سطح کربيدسيلسيوم از ديگر روش‌هاي توليد گرافن هستند اما دماي بالاي اين فرايندها و عدم توانايي انتقال بر روي ساير زير لايه‌ها از محدوديت‌هاي اين روشها هستند.

1-1-4 خواص:
a) ساختار الکترونيکي:
گرافن با ساير مواد متداول سهبعدي متفاوت است. گرافن طبيعي يک نيمهفلز يا يک نيمهرسانا با حفره نواري صفر است. درک ساختار الکترونيکي گرافن اولين قدم براي يافتن ساختار نواري گرافيت است. اولين بار خيلي قبلتر در سال 1947 والاس متوجه خطي بودن رابطهي انرژي و عدد موج کريستال در نزديکي ششگوشهي منظقهي بريلوئن ششضلعي دوبعدي گرافن براي انرژيهاي پايين، که منجر به جرم مؤثر صفر براي الکترونها و حفرهها ميشود، شد. به خاطر اين رابطهي پاشندگي خطي در انرژيهاي پايين، الکترونها و حفرهها در نزديکي اين شش نقطه، که دو تا از آنها غير يکسان هستند، همانند ذرات نسبيتياي که با معادلهي ديراک براي ذرات با اسپين نيمصحيح توصيف مي شوند، رفتار ميکنند. به همين خاطر به اين الکترونها و حفرهها فرميونهاي ديراک و به آن شش نقطه، نقاط ديراک گفته ميشود.
محاسبات نشان ميدهد که گرافن در جهت گيري زيگزاگي همواره فلز است.

شکل 1-2) جهتگيري زيگزاگي گرافن
همچنين محاسبات نشان ميدهد که گرافن در جهتگيري دستهصندلي، بسته به عرض لايه، ميتواند فلز و يا نيمهرسانا باشد.

شکل 1-2) جهتگيري دستهصندلي گرافن
b) ترابرد الکتروني:
در فيزيک تحرکپذيري الکترون يا به طور خلاصه تحرکپذيري کميتي است که به کمک آن مي‌توان سرعت رانش الکترون را در ميدان الکتريکي که به آن اعمال شده، محاسبه کرد.
اين مفهوم با عنوان عموميتر تحرکپذيري الکتريکي براي هر نوع بار الکتريکي که در يک سيال و تحت ميدان الکتريکي قرار دارد تعريف مي‌شود. در مواد نيمهرسانا علاوه بر تحرکپذيري الکترون‌ها، تحرکپذيري حفره نيز قابل اندازهگيري است. تحرکپذيري معمولا به ميدان الکتريکي اعمال شده وابسته‌است و با افزايش دما افزايش مي‌يابد.
نتايج تجربي از اندازهگيريهاي ترابرد الکتروني نشان ميدهند که گرافن داراي تحرکپذيري الکتروني بسيار بالايي در دماي اتاق ميباشد، با مقادير گزارش شدهاي بالاتر از 15,000. همچنين تقارن اندازهگيريهاي تجربي رسانندگي نشان ميدهد که تحرکپذيري براي الکترونها و حفرهها بايد يکسان باشد. در بازهي دمايي بين K10 تا K100، تحرکپذيري تقريبا به دما وابسته نيست، که بيان کنندهي اين امر است که مکانيزم قالب پراکندگي، پراکندگي ناقص است. پراکندگي توسط فونونهاي آکوستيک گرافن موجب يک محدوديت ذاتي بر تحرکپذيري در دماي اتاق در حد 200,000 براي چگالي حامل 1012 مي شود. مقاومت متناظر ورقههاي گرافن در حد6-10 خواهد بود. اين مقاومت از مقاومت نقره، ماده ي شناخته شده به عنوان دارندهي کمترين مقاومت در دماي اتاق، کمتر است.
c) خواص اپتيکي:
خواص اپتيکي منحصر به فرد گرافن، موجب بروز يک شفافيت بالاي غير منتظره براي يک تکلايهي اتمي با يک مقدار سادهي شگفت انگيز شده است، يک تک لايهي گرافن ?? ? 2.3% از نور سفيد فرودي بر روي خود را جذب مي کند که در آن ? ثابت ساختار ريز شبکه مي باشد. اين امر نتيجهي ساختار الکترونيکي کم انرژي غير معمول گرافن تک لايه است که طرحي به ساختار نوار انرژي الکتروني ـ حفره اي گرافن مي دهد تا آنها در نقاط ديراک به هم برسند، که به طور کيفي از ساير نوارهاي انرژي فشردهي مرتبهي دو معمول متفاوت است. بر مبناي مدل از ساختار نواري گرافن، فواصل بين اتمي، مقادير پرش و فرکانس به هنگام محاسبهي رسانندگي اپتيکي با استفاده از معادلات فرنل در حد لايه هاي نازک از بين مي رود. اين امر به صورت تجربي تأييد شده ولي هنوز مقادير اندازهگيري شده به اندازهي کافي براي محاسبهي ثابت ساختار ريز دقيق نبوده است. ميتوان حفره نوار انرژي گرافن را از صفر تا eV 0.25 (در حدود طول موج پنج ميکرومتر) به وسيلهي اعمال ولتاژ در دماي اتاق به يک ترانزيستور اثر ميدان دو دروازه اي ساخته شده از يک گرافن دو لايه اي، تنظيم نمود. همچنين نشان داده شده است که پاسخ اپتيکي نانو نوارهاي گرافني نيز در ناحيهي تراهرتز به وسيله ي اعمال يک ميدان مغناطيسي قابل تنظيم است. علاوه بر اين نشان داده شده است که سيستم هاي گرافن ـ گرافن اکسيد از خود رفتار الکتروکروميک بروز ميدهند، که اجازه ميدهند هم خواص اپتيکي خطي و هم خواص اپتيکي فوق سريع را تنظيم نمود.
d) برخي خواص ديگر:
از ديگر خواص گرافن ميتوان به نشتناپذير بودن، بيشترين قابليت کشش در بين مواد تاکنون شناخته شده و رسانايي حرارتي بالا اشاره کرد. [13،12]

1-1-5 کاربردها:
* از آنجايي که گرافن يک رساناي شفاف است مي تواند کاربردهايي چون نمايشگرهاي لمسي، سلول خورشيدي و پانل هاي نوري داشته باشد که در اين مورد گرافن مي تواند جايگزين اينيديوم- تين اکسيد (ITO)گردد که بسيار گران قيمت مي باشد.
* جوهرهاي رسانا
* استفاده شدن به‌جاي فيبرهاي کربن در کامپوزيت‌ها
* استفاده شدن به‌جاي سيليکون‌هاي نيمه‌رسانا در ترانزيستورها
* جاسازي کردن گرافن در پلاستيک که مي‌تواند پلاستيک مذکور را رسانا کند
* امکان بالابردن دوام باتري‌ها با استفاده از غبار گرافني
* ايجاد پلاستيک‌هايي سخت‌تر، مستحکم‌تر و سبک‌تر
* ايجاد توربين‌هاي بادي کارآمدتر
* ايجاد ايمپلنت‌هاي مستحکم‌تر (پزشکي)
* کاربرد در تجهيزات ورزشي
* ايجاد ابرخازن‌ها
* کاربرد براي پيشرفت صفحات لمسي
* کاربرد در صفحهنمايشهاي کريستال مايع12
* کاربرد در OLEDها
* امکان ايجاد شيوه‌ي جديدي در ترتيب‌گذاري مواد توارثي13 به‌وسيله‌ي ايجاد نانوشکافي در گرافن
* ترانزيستورهاي با ظرفيت تراهرتز
* صفحه نمايش لمسي قابل خم شدن
* سنسور کرنش
* و بسياري کاربردهاي ديگر ……………………………….
1-2 مقدمهاي بر روشهاي تحليل مواد نانوساختار:
در ساختارهاي با ابعاد کوچک نيروهاي چسبندگي بين مولکولي و بين اتمي قابل چشمپوشي نيست، زيرا اثرات زيادي بر خواص استاتيکي و ديناميکي مواد دارد و از تغيير خواص در لبهها نميتوان صرفنظر کرد.
سه روش کلي براي تحليل مواد نانو ساختار وجود دارد:
o روشهاي تجربي مثل انجام آزمايش
o روشهاي آماري مانند شبيهسازي ديناميک مولکولي
o روشهاي تحليلي همانند تحليل با استفاده از تئوري الاستيسيته
در روش اول کنترل آزمايش در ابعاد نانو کاري بسيار مشکل و هزينهبر ميباشد، علاوه بر آن احتمال خطا در آزمايش در ابعاد نانو بسيار بالا است و در روش دوم انجام محاسبات سنگين و بسيار پرهزينه است. اما در استفاده از روش سوم اگرچه اين تئوريها مستقل از ابعاد هستند ولي نميتوان اثرات اندازه را در آنها پيشبيني کرد. استفاده از تئوري محلي براي تحليل در ابعاد کوچک منجر به نتايج بيش از حد تقريبي ميشود [14].
در ادامه به بررسي تعدادي از تئوريهاي محيط پيوسته مستقل از بعد که اثرات ابعاد کوچک را در نظر ميگيرند ميپردازيم.
1-2-1 تئوري تنش دوگانه14
در اين تئوري بيان ميشود که در ابعاد نانو، نيروهاي واندروالسي باعث ايجاد گشتاور زوجنيرويي در جسم ميشوند که قابل چشمپوشي نيست [15]. در مكانيك ذره‌ها، براساس نظريهي مارتي و تورنتون در سال 1995 نيروي وارد به ذره قابل ملاحظه نميباشد مگر وقتي كه ذره شتاب بگيرد. اين نيرو برمبناي ميزان جابهجايي يا شتاب ذره و يا با استفاده از تغييرات انرژي جنبشي ذره قابل محاسبه ميباشد. در صورتيکه در مكانيك كلاسيك ذره‌ها افزون بر اين حالت، در حالت تعادل ماده هم ميتواند نيروي درخور توجهي به آن اعمال شود. گشتاور زوجنيرويي، وارد به ذره كه باعث چرخش ميشود، نيز بر آن موثر ميباشد. در اين روش با درنظر گرفتن المان حجمي اطراف ذره، زوجنيرو و گشتاور حاصل از آن به اين المان وارد ميشود. با استفاده از روي همگذاري معادلههاي تنش دوگانه و نتيجههاي بهدست آمده از مكانيك ذره‌ها، مي توان معادلههاي تنش دوگانه را براي مواد نانو بهدست آورد [16].
1-2-2 تئوري الاستيسيتهي غيرمحلي ارينگن15
تئوريهاي الاستيسيته غيرمحلي فرم اصلاح شده تئوريهاي الاستيسيته کلاسيک ميباشند که در آنها اثر مقياس کوچک به صورت ضريبي، رابطهي بين تنش غيرمحلي و تنش کلاسيک را بيان مينمايد. در دههي 1970 تئوري الاستيسيته غيرمحلي توسط ارينگن [17] معرفي شد. در اين تئوري فرض اساسي بر وابستگي تنش در يک نقطه به کرنش در تمام نقاط است در صورتيکه در تئوريهاي کلاسيک تنش در يک نقطه فقط به کرنش در آن نقطه وابسته است.
1-2-3 تئوري گراديان کرنش-اينرسي16
ميندلين [18] تئوري الاستيسيتهاي را با در نظر گرفتن تفاوتهايي در عبارات متناظر با انرژي جنبشي و چگالي انرژي کرنشي در مقياس نانو و ميکرو، مدل الاستيسيتهي متفاوتي را استخراج نمود. او در مدل خود علاوه بر جابهجاييها و کرنشهاي موجود در ابعاد ماکرو عبارات اضافهتري چون تغيير شکلهاي در اندازهي ميکرو و همچنين تغيير شکلهاي نسبي که اختلاف تغيير شکلهاي در مقياس ماکرو و ميکرو ميباشند و از همه مهمتر گراديان عبارات مربوط به تغيير شکلهاي ميکرو را لحاظ نمود. براساس اين تئوري براي مادهي همسانگرد و همگن، تعداد 18 پارامتر مستقل در روابط ساختاري موجود خواهد بود که اين خود باعث پيچيدگي و دشواري حل معادلات الاستيسته گرديد. پس از ميندلين پژوهشگران زيادي سعي بر سادهتر نمودن اين معادلات کرده و مدلهايي که در آنها با پارامترهاي کمتري سر و کار داشتند، ارائه شد. گيتمن و همکارانش با ترکيب معادلات مربوط به گراديان کرنش که حاصل اصلاحات تئوري ميندلين بود با معادلات گراديان اينرسي توانست تئورياي تحت عنوان گراديان کرنش-اينرسي ارائه دهد.

1-3 مروري بر پژوهشهاي انجام شده
در تحليل ساختاري مواد در ابعاد بزرگ از تغييرات نيرو و تنش در لبهها صرفنظر شود اما اين تغييرات در ابعاد کوچک قابل صرفنظر نميباشند، لذا بررسي سازههاي با ابعاد کوچک نيازمند در نظر گرفتن اين موضوع است. امروزه با توجه به اهميت نانوسازهها پژوهشهاي فراواني در زمينه تحليل خواص آنها صورت گرفته است که به بررسي تأثير عاملهاي گوناگون بر کمانش بحراني و ارتعاشات سازه پرداختهاند. همچنين اثرات ابعاد کوچک بر پايهي مدلسازيهاي مختلف و شرايط مرزي و هندسي متفاوت مورد بررسي قرار گرفته است. که در ادامه به بخشي از آنها اشاره شود.
بابايي و شهيدي [14] اثرات ابعاد کوچک در کمانش نانو صفحه قرار گرفته در ماتريس الاستيک را با استقاده از تئوري الاستيسيته غيرمحلي و روش گلرکين مورد بررسي قرار دادند. نتيجهاي که آنها از اين بررسي بهدست آوردند بيانگر اين امر بود که نيروي کمانش بحراني بدون بعد با افزايش نسبت طول به عرض کاهش مييابد، همچنين آنها دريافتند که افزايش پارامتر غيرمحلي تأثير عکس بر نيروي کمانش بحراني بدون بعد ميگذارد.
بهفر ونقدآبادي [19] با در نظر گرفتن گرافن به عنوان يک صفحه ارتوتروپيک و استفاده از اصل هميلتون، فرکانسهاي طبيعي چندلايه گرافن قرار گرفته در پليمر با شرايط مرزي تکيهگاه ساده را به صورت پارامتري بر مبناي طول و عرض و ضخامت صفحه محاسبه و سپس فرکانسهاي طبيعي و شکل مودهاي يک دولايه را نيز بهدست آوردند. نتيجهي بررسيهاي آنها نشاندهندهي آن بود که افزايش نسبت طول به عرض نانوصفحه باعث کاهش در فرکانس طبيعي ميشود، همچنين ميتوان دريافت که افزايش نسبت نيروهاي واندروالسي بين گرافن و ماتريس پليمري به نيروهاي واندروالسي بين صفحات گرافن باعث افزايش فرکانس طبيعي ورق گرافن ميشود.
پارادهان و فاديکار [20] با استفاده از تئوري الاستيسيته غيرمحلي ارينگن اثرات ابعاد کوچک را در يک تکلايه و چندلايه گرافن واقع در ماتريس پليمري مورد بررسي قرار دادند. براي حل معادلات از روش ناوير استفاده کرده و تغييرات فرکانسهاي طبيعي صفحات گرافن را با تغيير دادن ابعاد صفحه و مقدار پارامتر غيرمحلي مورد بررسي قرار دادند. در اين پژوهش با تعريف نسبت فرکانسي به صورت نسبت فرکانس محاسبه شده با تئوري غيرمحلي به فرکانس محاسبه شده با تئوري محلي، تأثير پارامترهاي مختلف بر نسبت فرکانسي محاسبه شده است و نتايج بهدست آمده نشان ميدهد که افزايش لايهها باعث افزايش نسبت فرکانسي ميشود. همچنين در يک کامپوزيت تکلايه افزايش ضخامت باعث کاهش نسبت فرکانسي ميگردد، نتايج ديگري که از اين پژوهش بهدست آمد اين بود که فرکانس طبيعي غيرمحلي همواره از فرکانس طبيعي محلي کمتر است و با افزايش ضرايب وينکلر و پاسترناک نسبت فرکانسي به سمت يک نزديک ميشود
پارادهان و مورمو [21] به بررسي اثرات ابعاد کوچک در تکلايه گرافن واقع برروي ماتريس پليمري با استفاده از مدلهاي وينکلر و پاسترناک براي ماتريس پليمري پرداختند. پس از آن نيروي کمانش بحراني را با استفاده از دو تئوري غيرمحلي و محلي بهدستآورده و با هم مقايسه نمودند. آنها در اين پژوهش به اين نتيجه دست يافتند که افزايش طول ماده مورد بررسي نتيجهاي برعکس افزايش مقدار پارامتر غيرمحلي دارد يعني با افزايش طول، خطاي استفاده از تئوري محلي بسيار ناچيز ميشود.
انصاري و همکارانش [22] با بکارگيري تئوري ميندلين و استفاده از تئوري الاستيسيته غيرمحلي ارينگن وابستگي اثر ابعاد کوچک به ابعاد هندسي، شرايط مرزي، مودهاي ارتعاشي و ماتريس الاستيک احاطه کننده را مورد بررسي قرار دادند و معادلات بهدست آمده را با استفاده از روش المان محدود حل نمودند. آنها نتيجهاي مشابه نتيجهي بهدست آمده در مورد تأثير ضرايب وينکلر و پاسترناک بر فرکانس طبيعي در پژوهش پارادهان و فاديکار بهدست آوردند. تأثير شرايط مرزي بر فرکانس نيز از ديگر نتايج حاصله است، بدين صورت که اگر شرايط مرزي از حالت ساده به گيردار تغيير کند نسبت فرکانس طبيعي غيرمحلي به فرکانس طبيعي محلي افزايش خواهد يافت.
شن و همکارانش [23] با در نظر گرفتن اثرات ابعاد کوچک، با قرار دادن اثرات به عنوان ضريبي در تنش و وارد کردن آن در معادلات و همچنين در نظر گرفتن خواص وابسته به دما و ابعاد و شبيهسازي آن با ديناميک مولکولي و استفاده از تئوري الاستيسيته غيرمحلي، وابستگي ارتعاشات غيرخطي تکلايه گرافن به شرايط حرارتي را مورد بررسي قرار دادند. در نهايت نتايجي که در اين پژوهش مشهود است اختلاف ناچيز نتايج روش ديناميک مولکولي با روش الاستيسيته غيرمحلي ارينگن ميباشد و در کنار آن ميتوان دريافت که افزايش دما باعث افزايش نسبت فرکانس طبيعي غيرخطي به فرکانس طبيعي خطي ميشود. اين نشاندهنده آن است که در دماهاي بالا ارتعاشات صفحه مورد بررسي از نوع غيرخطي ميباشد و تحليل خطي آن همراه با خطا خواهد بود.
صماعي و همکارانش [24] به بررسي کمانش تکلايهي گرافن واقع در ماتريس الاستيک تحت شرايط تکيهگاهي ساده در چهار طرف با در نظر گرفتن تئوري الاستيسيته غيرمحلي ارينگن براي اثرات ابعاد کوچک و همچنين استفاده از مدل پاسترناک به همراه ضريب وينکلر براي ماتريس الاستيک پرداختند. آنها همچنين از تئوري تغييرشکل برشي مرتبه اول براي تقريب جابهجاييهاي سازه بهره بردند و نتايج آنها نشاندهنده اين امر بود که افزايش طول صفحه ميزان خطاي استفاده از تئوري الاستيسيته کلاسيک را کاهش ميدهد. تأثير ضريب وينکلر بر نسبت نيروي کمانش بحراني بهدست آمده از دو تئوري غيرمحلي و کلاسيک از ديگر نتايج حاصله است که نشان ميدهد هرچه اين ضريب افزايش يابد اختلاف اين دو تئوري بيشتر ميشود.
انصاري و روحي [25] بياني تحليلي براي مطالعهي کمانش ورق تکلايه گرافن تحت بارگذاري دومحوره ارائه نمودند. آنها با استفاده از تئوري الاستيسيته غيرمحلي ارينگن اثرات ابعاد کوچک صفحهي مورد بررسي را بر معادلات حرکت آن اعمال نمودند. در اين پژوهش نيروي کمانش بحراني براي شش حالت شرايط مرزي و تحت بارگذاري يکنواخت گسترده و استاتيک بر حسب پارامترهايي همچون خواص ماده و ابعاد صفحه ارائه گرديدهاست.
جمعهزاده و سعيدي [26] ارتعاشات دامنه بالاي ورق چندلايه گرافن را مورد بررسي قرار دادند. در اين پژوهش با استفاده از اصل هميلتون معادلات ديفرانسيل جزئي وابسته غيرخطي حرکت، بر مبناي مدل هندسي ونکارمن17 و با استفاده از تئوري الاستيسيته غيرمحلي، براي سه حالت متفاوت از شرايط مرزي بهدست آمد. پس از حل اين معادلات نتايج براي ورق تکلايه، دولايه و سهلايه گرافن زيگزاگ و دستهصندلي به صورت جدا محاسبه گرديد. از نتايج اين پژوهش ميتوان به تفاوت در اثر شرايط مرزي در نسبت فرکانسي غيرخطي به خطي سازه، در دولايه و سهلايه اشاره نمود بهطوريکه در دولايه شرط مرزي چهارطرف تکيهگاه ساده بيشترين نسبت فرکانسي را ايجاد مينمايد در صورتيکه در سهلايه بيشترين نسبت فرکانسي متعلق به شرط مرزي چهار طرف تکيهگاه گيردار ميباشد.
پارادهان و کومار [27] با در نظر گرفتن ورق گرافن به عنوان سازهاي ارتوتروپيک18 و استفاده از تئوري الاستيسيته غيرمحلي براي در نظر گرفتن اثرات ابعاد کوچک سازه، به بررسي ارتعاشات آن پرداختند. در اين پژوهش از روش مربعات ديفرانسيلي براي حل معادلات بهدست آمده استفاده گرديدهاست. آنها در پژوهشي ديگر [28] با در نظر گرفتن اين سازه در ماتريس الاستيک، از مدل پاسترناک نيز براي مدلسازي اين ماتريس بهره بردهاند.
اسدي و فرشي [29] با استفاده از تئوري الاستيسيته غيرمحلي به بررسي پايداري صفحهي کامپوزيتي چندلايه گرافن تحت بارگذاري غيريکنواخت تکمحوره پرداختند.
انصاري و همکارانش [30] نيز در بررسي رفتار ارتعاشي ورق چند لايه از تئوري الاستيسيته غيرمحلي بهره جستهاند.
در تمام پژوهشهاي پيشين ميتوان دريافت که با افزايش مقدار پارامتر غيرمحلي نيروي کمانش بحراني بدون بعد و نسبت نيروي بحراني غيرمحلي به نيروي بحراني محلي و همچنين نسبت فرکانس طبيعي غيرمحلي به فرکانس طبيعي محلي کاهش مييابند به عبارت ديگر ميتوان گفت فاصله نتايج دو تئوري الاستيسيته محلي و غيرمحلي افزايش مييابد.

1-4 معرفي پاياننامهي کنوني و اهداف آن
در اين پاياننامه تلاش ميگردد اثرات نيروهاي مرزي و ماتريس الاستيک بر ارتعاشات نانو کامپوزيت گرافن بررسي شود. در اين پژوهش نانوصفحه از جنس گرافن واقع در ماتريس پليمري تحت بارگذاري فشاري از دوطرف مفروض ميباشد. تغييرات دمايي سازه به صورت نيروي گستردهي درون صفحه در نظر گرفته ميشود. براي مدلسازي جابهجاييهاي سيستم از تئوري تغيير شکل برشي مرتبه سوم بهره خواهيم برد. در ادامه تأثير ضرايب وينکر و پاسترناک بر فرکانسهاي طبيعي سازه مورد بررسي قرار خواهد گرفت و همچنين اثر شرايط مرزي مختلف بر فرکانسهاو پاسخ ارتعاشي سازه بررسي خواهد شد. علاوه بر موارد گفته شده با بهکارگيري تئوري گراديان کرنش-اينرسي بر روي تکلايه کامپوزيتي، اثرات مقياس کوچک نانوصفحه بررسي ميشود. براي اعتبارسنجي روش حل، نتايج با نتايج بررسيهاي مشابه قبلي مقايسه شده و نتايج در نمودارهاي مختلف نشان داده ميشوند.

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

در فصل بعد به نحوه بهدست آوردن معادلات حرکت سازههاي بيان شده با استفاده از تئوري گراديان کرنش-اينرسي پرداخته شده. فصل سوم اين پاياننامه شامل نتايج عددي بهدست آمده از حل معادلات حرکت و همچنين مقايسه تأثيرات پارامترهاي مختلف بر پاسخهاي سازه ميباشد. و در فصل انتهايي به جمعبندي نتايج و پيشنهاداتي براي پژوهش در اين راستا پرداخته شده است.

فصل دوم
معادلات حرکت

اين فصل از پاياننامه به بررسي روند بهدست آوردن معادلات حرکت نانو صفحات پرداخته است. در ابتدا چگونگي استخراج معادلهي حرکت سيستم با در نظر گرفتن اثرات مقياس کوچک نانوصفحه با استفاده از تئوريهاي الاستيسيته بيان شده، پس از آن معادلات با روش مربعات ديفرانسيلي بهبوديافته از حالت مشتقات جزئي خارج شده و به شکل مجموعهاي از معادلات عادي درميآيند تا در فصل بعد بتوان با حل اين معادلات فرکانسهاي طبيعي و شکل مودهاي سازه را استخراج نمود.
2-1 فرمولبندي معادلهي حرکت نانوصفحه
بهدست آوردن فرمولبندي و معادلهي حرکت نانوصفحه با استفاده از روشهاي مختلفي ممکن ميباشدکه در اين پاياننامه استخراج معادلات با استفاده از معادلهي الاستيسيته تئوري گراديان کرنش-اينرسي صورت گرفته است.
ميندلين [18] چگالي انرژي کرنشي را به عنوان تابعي از گراديانهاي مرتبه اول و دوم تانسور کرنش درنظر گرفت و تئوري پيوستهاي براي تحليل در ابعاد ميکرو و نانو ارائه نمود. به علت وجود تعداد زيادي پارامتر در اين تئوري و مشکل بودن محاسبات در طول زمان افراد زيادي روي اين تئوري اصلاحات انجام دادند. يکي از اين اصلاحات را گيتمن و همکارانش [31] با ترکيب معادلات مربوط به گراديان کرنش با گراديان اينرسي براي تحليل مواد در ابعاد نانو به صورت زير ارائه نمودند و در نهايت رابطهي تنش و کرنش را در تئوري گراديان کرنش-اينرسي به صورت زير بيان نمودند.
(2-1)
در معادلهي فوق تانسور مرتبه چهارم الاستيسيته، پارامتر طولي مشخص کنندهي اثرات اندازهي گراديان کرنش و پارامتر طولي نمايانگر اثر اندازهي گراديان اينرسي و پارامتر u بيانگر جابهجاييهاي سازه و همچنين نمايانگر نيروهاي اعمالي به سازه ميباشد. همچنين در اين معادله بيانگر کرنش کل جسم ميباشد.
اسکز19 و آيفانتيس20 [32] به بررسي انواع تئوريهاي الاستيسيته که مرتبههاي بالاتر کرنش و جابهجاييها را در نظر ميگيرد، پرداختند و رابطهي زير را برحسب جابهجاييهاي سازه ارائه نمودند.
(2-2)
کرنش کلي که در يک نقطه از جسم الاستيک ايجاد ميشود ناشي از اعمال نيروهاي متفاوتي ميتواند باشد که در اين پژوهش با توجه به اعمال نيروهاي مکانيکي و حرارتي به سازه فقط کرنشهاي ناشي از اعمال حرارت و کرنشهاي ناشي از اعمال بار مکانيکي را درنظر ميگيريم و همانگونه که در رابطه زير مشاهده ميشود کرنش مکانيکي حاصل کمکردن کرنش حرارتي از کرنش کل است.
(2-3)
در رابطه فوق بيانگر کرنش حرارتي و بيانگر کرنش کل جسم ميباشند که در ادامه به آنها خواهيم پرداخت. با توجه به تعريف ضرايب تانسور مدول الاستيک براي يک تکلايه کامپوزيتي به صورت زير [33] و پس از گسترش دادن رابطهي (2-8) داريم:


پاسخی بگذارید