در فصل سوم ابتدا به تجزيه و تحليل تابع اسپلاين درجه پنجم8 غيرچندجمله‌اي پرداخته مي‌شود و فرمول اسپلاين درجه پنجم غيرچندجمله‌اي به دست مي‌آيد و پس از آن آناليز همگرايي9 روش بحث مي‌شود و سپس به محاسبه خطاي10 اين نوع اسپلاين پرداخته مي‌شود.
در نهايت، فصل آخر هم به حل عددي مسئله حساب تغييرات پرداخته مي‌شود و همچنين برخي منابع به جهت مطالعه موضوعات مرتبط با تحقيق ارائه مي‌شود که مي‌تواند کمکي به شروع تحقيقات آينده باشد.
مطالب اين فصل با توجه به منابع شماره33،30،21،19،14،13،12،11،10،9،8،7،6،5،3،2،1 ارايه شده است.
1-2-
آناليز عددي
آناليز عددي الگوريتم حل مسئله در رياضيات پيوسته (رياضياتي که بعد از رياضيات گسسته است) را مورد مطالعه قرار مي‌دهد. آناليز عددي اساسا به مسائل مربوط به متغيرهاي حقيقي و متغيرهاي مختلط و نيز جبر خطي عددي به علاوه حل معادلات ديفرانسيل و ديگر مسائلي که از فيزيک و مهندسي مشتق مي‌شود، مي‌پردازد. تعدادي از مسائل در رياضيات پيوسته دقيقاّ با يک الگوريتم حل مي‌شوند که به روش‌هاي مستقيم حل مسئله معروف‌اند. براي مثال روش حذف گاوسي براي حل دستگاه معادلات خطي است و نيز روش سيمپلکس در برنامه ريزي خطي مورد استفاده قرار مي‌گيرد. ولي روش مستقيم براي حل خيلي از مسائل وجود ندارد و ممکن است از روشهاي ديگر مانند روش تکرارشونده استفاده شود. چون اين روش مي‌تواند در يافتن جواب مسئله موثرتر باشد.
تخمين خطاهاي موجود در حل مسائل از مهمترين قسمت‌هاي آناليز عددي است. اين خطاها در روش‌هاي تکرارشونده وجود دارد. چون به هر حال جوابهاي تقريبي بدست آمده با جواب دقيق مسئله، اختلاف دارد و يا وقتي که از روشهاي مستقيم براي حل مسئله استفاده مي‌شود خطاهايي ناشي از گرد کردن اعداد بوجود مي‌آيد. در آناليز عددي مي‌توان مقدار خطا را در خود روش که براي حل مسئله به کار مي‌رود، تخمين زد.
الگوريتم‌هاي موجود در آناليز عددي براي حل بسياري از مسائل موجود در علوم پايه و رشته‌هاي مهندسي مورد استفاده قرار مي‌گيرند. براي مثال از اين الگوريتم‌ها در طراحي بناهايي مانند پل ها، در طراحي هواپيما، در پيش بيني آب و هوا، تهيه نقشه‌هاي جوي از زمين، تجزيه و تحليل ساختار مولکول‌ها، پيدا کردن مخازن نفت، استفاده مي‌شود. همچنين اکثر ابر رايانه‌ها به طور مداوم براساس الگوريتم‌هاي آناليز عددي برنامه‌ريزي مي‌شوند. به طور کلي، آناليز عددي از نتايج عملي حاصل از اجراي محاسبات براي پيدا کردن روش‌هاي جديد براي تجزيه و تحليل مسائل، استفاده مي‌کند.
1-3- درونيابي11
در آناليز عددي، درونيابي يک روش ساختن نقاط فرض شده جديد از يک مجموعه مجزا از نقاط داده شده معلوم است. يک مسئله متفاوت که تقريباّ مربوط به درونيابي است، تقريبي از يک تابع پيچيده توسط يک تابع ساده است. انواع مختلفي از درونيابي در رياضيات وجود دارد. براي مثال: درونيابي ثابت تکه‌اي12، درونيابي خطي13، درونيابي چندجمله‌اي14، درونيابي اسپلاين15، درونيابي بوسيله فرآيند گاوس16.
1-3-1- درونيابي اسپلاين
درونيابي اسپلاين از چندجمله‌اي درجه پايين در هر بازه استفاده مي‌کند و قطعه‌هاي چندجمله‌اي انتخاب مي‌کند بطوريکه آنها، با همديگر به طور يکنواخت متناسب باشند.
1-4- معادله ديفرانسيل17
هر رابطه بين متغير تابع و مشتقات متغير تابع نسبت به متغير يا متغيرهاي مستقل را يک معادله ديفرانسيل مي‌نامند.
1-4-1- معادله ديفرانسيل معمولي18
اگر يک معادله ديفرانسيل فقط يک متغير تابع و يک متغير مستقل داشته باشد، معادله ديفرانسيل را معمولي گويند. بنابراين فرم کلي يک معادله ديفرانسيل معمولي به صورت زير است:
1-4-2- مسئله مقدار مرزي مرتبه دوم19
معادله ديفرانسيل مرتبه دوم ، ، با شرايط مرزي را مسئله مقدار مرزي مرتبه دوم مي‌ناميم.
1-4-3- دستگاه معادلات غيرخطي20
شکل کلي يک دستگاه از معادلات غيرخطي عبارت است از:
که در آن هر فضاي بعدي را به توي خط حقيقي مي‌نگارد.

1-4-4- حل عددي دستگاه معادلات غيرخطي
فرض كنيد براي تابعي غيرخطي از به باشد در دستگاه معادلات غير خطي زير:

هدف به دست آوردن نقطه‌اي مانند است، به گونه‌اي كه در همه‌ي معادله‌هاي دستگاه بالا صدق كند.
تابع از به را به صورت زير تعريف مي‌كنيم:

كه در آن برداري در است. پس دستگاه به شكل زير است:
و ما به دنبال بردار هستيم، به گونه‌اي كه داشته باشيم .
تعريف: مجموعه‌ي را محدب مي‌گوييم، هر گاه براي هر دو نقطه‌ي y,x متعلق به و براي هر داشته باشيم:

تعريف: هرگاه عددي صحيح و نامنفي بوده و همچنين زير مجموعه‌اي از باشد، مجموعه‌ي تابع‌هايي از به را كه مشتق ام آن‌ها پيوسته است با نشان مي‌دهيم.
تعريف: ماتريس ژاكوبين تابع را در نقطه‌ي با نشان مي‌دهيم، به گونه‌اي كه:

1-4-5- روش نيوتن
فرض کنيد . همچنين فرض کنيد ، جواب دقيق دستگاه F(x)=0 باشد، پس .
براي عدد صحيح نامنفي را بردار به دست آمده از روش نيوتن در مرحله‌ي ام در نظر مي‌گيريم و مي‌دانيم بسط تيلور تابع چند متغيره‌ي F عبارت است از:

قرار مي‌دهيم پس:

هرگاه به اندازه‌ي كافي به نزديك باشد، مي‌توانيم قرار دهيم:

پس اگر ماتريسي نامنفرد باشد، داريم:

اينك بردار جديد را به صورت زير تعريف مي‌كنيم:

پس در حالت كلي، در اين روش با انتخاب بردار اوليه‌ي براي تا زماني كه شرط توقف برقرار شود، نخست دستگاه:

را حل كرده و سپس قرار مي‌دهيم:

مثال : براي دستگاه دو معادله و دو مجهول غيرخطي:

جواب دقيق دستگاه است، اينك قرار مي‌دهيم:

ماتريس ژاكوبي تابع بالا عبارت است از:

همچنين داريم:

با انتخاب بردار اوليه‌ي:

جدول زير به دست مي‌آيد:
1/0 1/0 0 0504967/0 0504967/0 1 0253126/0 0253126/0 2 0126644/0 0126644/0 3 00633322/0 00633322/0 4 00316674/0 00316674/0 5 00158338/0 00158338/0 6 000779169/0 000779169/0 7 00039585/0 00039585/0 8 00019792/0 00019792/0 9 00009796/0 00009796/0 10 00004948/0 00004948/0 11 00002474/0 00002474/0 12 00001237/0 00001237/0 13 00000619/0 00000619/0 14 00000309/0 00000309/0 15 00000155/0 00000155/0 16 00000077/0 00000077/0 17 جدول 1-1

همان گونه كه ملاحظه مي‌كنيد پس از 17 تكرار به جواب قابل قبول رسيده‌ايم.
توجه: در روش نيوتن، انتخاب بردار اوليه‌ي حائز اهميت است.
نكته ي بالا بدين معناست كه بردار اوليه‌ي بايد به اندازه‌ي كافي به نزديك باشد.
براي نمونه اگر براي دستگاه معادلات غيرخطي مثال بالا قرار دهيم: ، پس از 220 تكرار به تقريبي نزديك به وضعيت قبل مي‌رسيم. اين در حالي است كه انتخاب باعث واگرايي دنباله حاصل از روش نيوتن در اين مثال مي‌شود.
1-5- ماتريس21
جدولي از اعداد با شمار معيني سطر و ستون است به گونه‌اي که يک ماتريس مانند A، جدولي است با m سطر و n ستون که به صورت زير نمايش داده مي‌شود:
1-5-1- ماتريس مربعي22
ماتريس A يک ماتريس مربعي است هرگاه شمار سطرها و ستون‌هاي آن برابر باشند.
1-5-2- ماتريس قطري23
ماتريس مربعي A از مرتبه n را قطري گويند، هرگاه عناصر غيرقطري آن صفر باشد. به عبارت ديگر، A يک ماتريس قطري است اگر . اين ماتريس را به صورت زير نمايش مي‌دهيم:
1-5-3- ماتريس سه قطري 24
ماتريس مربعي A را سه قطري نامند هرگاه .
يک ماتريس سه قطري در حالت کلي به فرم زير است:
1-5-4- ماتريس هماني25
ماتريس قطري مربعي با عناصر واحد را ماتريس هماني مي‌ناميم و آن را با نشان مي‌دهيم.
1-5-5- ماتريس وارو نپذير26
ماتريس مربعي A از مرتبه n را وارونپذير گويند، هرگاه ماتريسي مانند B چنان يافت شود که . در اين صورت B را وارون A ناميده و با A-1 نشان مي‌دهند.
1-5-6- ماتريس غالب قطري27
ماتريس مربعي A از مرتبه n را غالب قطري گويند هرگاه .
1-6- روش بسط تيلوربراي حل مسأله مقدار اوليه28
معادله ديفرانسيل مرتبه اول زير را در نظر بگيريد:
اگر y(x) جواب دقيق اين معادله ديفرانسيل باشد، بسط تيلور تابعy(x) پيرامون نقطه‌ي عبارت است از:
1- 7- خطاي برشي29
فرض کنيد y(x) جواب دقيق مسأله مقدار اوليه زير باشد:
و مقدار تقريبي باشد، مقدار را خطاي برشي مي‌ناميم.
1-8- فانکشينال30
فرض کنيد ? فضايي از توابع بوده که هر يک از آنها بر يک زير فاصله تعريف شده اند. حال اگر J تابعي از ? به توي R، مجموعه اعداد حقيقي، تعريف شده باشد، يعني، در اينصورت J را يک فانکشينال يا تابعك مي‌نامند.
1-9- معادله اويلر- لاگرانژ31
فرض کنيد يک فانکشينال به شکل
باشد بطوريکه f مشتقات جزيي پيوسته از مرتبه دوم دارد و .
فرض کنيد
بطوريکه اعداد حقيقي هستند. اگر يک اکسترمم موضعي براي Jباشد، سپس
براي هر ، يک معادله اويلر- لاگرانژ ناميده مي‌شود.
1-10- حساب تغييرات
حساب تغييرات شاخهاي از آناليز است که با مسائل ماکزيمم و مينيمم سروکار دارد. اين نوع مسائل در علوم رياضي و مهندسي کاربردهاي متنوع دارند.
به عنوان يکي از مسائلي که همواره مورد توجه بوده مسئله پيدا کردن کوتاهترين فاصله بين دو نقطه است که در صفحه جواب اين مسئله خط راست است. اثبات آنکه جواب آن در صفحه يک خط راست است بدون آشنايي با علم حساب تغييرات دشوار است.
مسئله کوتاهترين فاصله بين دو نقطه را ميتوان در يک فضاي بعدي مطرح نمود، بديهي است حل چنين مسئلهاي بايد پيچيده باشد.
مسئله ديگري که در حساب تغييرات مورد بررسي قرار ميگيرد پيدا کردن منحنياي مابين همه منحنيهاي واقع در صفحه است که اگر آنها را حول محور دوران دهيم مساحت سطح جانبي جسم دوار حاصل مينيمم باشد.
مسئله سوم مورد نظر مسئلهاي است که توسط برنولي مطرح شده است و آن پيدا کردن خمي است که دو نقطه و را از بالا به پايين بهم وصل ميکند بطوريکه اگر گلولهاي در طول اين منحني از تا حرکت کند زمان طي شده مينيمم باشد.
بالاخره مسئله نهايي مسئلهاي است که در يونان قديم مطرح شده است و آن يافتن شکل بستهاي با محيط ثابت است. جواب اين مسئله را يک دايره حدس زده بودند تا آنکه پاپوس 300 سال بعد از ميلاد نشان داد که جواب دايره است.پاسخ اين مسئله تحت عنوان مينيمم سازي مقيد،امروزه در حساب تغييرات مطرح ميشود.
حساب تغييرات با فضاي توابع سروکار دارد. براي وارد شدن به بحث اصلي حساب تغييرات که تحت عنوان دومين قضيهي بنيادي حساب تغييرات مطرح ميشود نياز به تعريف زير داريم.
تعريف: فرض کنيد فضايي از توابع بوده که هر يک از آنها بر يک زيرفاصله تعريف شدهاند. حال اگرJ تابعي از? به توي R، مجموعه اعداد حقيقي ، تعريف شده باشد، ، J را يک فانکشينال يا تابعك مينامند.
مسئله بنيادي در حساب تغييرات را به صورت زير ميتوان مطرح کرد:
فرض كنيد دو نقطه واقع در صفحه xy باشند و هر منحني دلخواه باشد كه از اين دو نقطه مي‌گذرد. بين اين منحني‌ها بدنبال منحني‌هاي هستيم كه تابعك را اكسترمم كند و ما در اينجا جواب مسأله را در حالتي مورد بررسي قرار مي‌‌دهيم كه اكسترمم مورد نظر از نوع مينيمم باشد.
(1-1)
جواب اين مسأله بنيادي ممكن است پيوسته يا غيرپيوسته، مشتقپذير يا غير مشتق پذير باشد ولي ما در بحث خود فرض مي‌كنيم كه جواب پيوسته و با مشتقات پيوسته باشد. مجموعه را شامل چنين جوابهايي، مجموعه توابع مجاز مي‌ناميم و ما در بحث خود هر تابع مطرح شده را يك تابع مجاز مي‌گيريم.
1-10-1- معادله اويلر- لاگرانژ
فرض كنيد مسأله (1-1) داراي جواب باشد، يعني تابعي مانند y(x) موجود باشد به طوري كه به ازاي هر با فرض
(1-2)
كه در آن z(x) متعلق به است همچنين و در (1-2) عددي ثابت و مثبت است. با جايگزين كردن (1-2) در (1-1) مي‌يابيم
(1-3)
با توجه به بسط تيلور مي‌توان نوشت
(1-4)
با قرار دادن از (1-4) در (1-3) داريم
(1-5)
همانطور كه ملاحظه مي‌كنيم نتيجه انتگرال‌گيري در (1-5) تنها تابعي از خواهد بود كه آن را با نمايش داده‌ايم. از طرفي با توجه به (1-2) اگر را اختيار كنيم اي كه به ازاي حاصل مي‌شود همان جواب مسأله (1-1)، يعني است. هم اكنون براي مي‌نيمم كردن در (1-1) كافي است معادله را تشكيل دهيم. با تشكيل اين معادله از (1-5) نتيجه مي‌شود.
(1-6)
دومين انتگرال در طرف دوم (1-6) را با استفاده از انتگرال‌گيري جزء به جزء چنين مي‌نويسيم
(1-7)
با قرار دادن (1-7) در (1-6) مي‌يابيم
(1-8)
و چون اين تساوي به ازاي هر z برقرار است، داريم
(1-9)
معادله‌ي (1-9) را معادله ي اويلر – لاگرانژ مي نامند بنابراين براي مينيمم كردن تابعك (1-1) كافي است به حل مساله زير بپردازيم .
(1-10)
اين مسئله را اويلر -لاگرانژ مي ناميم جواب اين مسئله را يك منحني بحراني مي ناميم اگر جواب مسئله (1-10) را بناميم آنگاه يك مقدار بحراني است كه مقدار اكسترمم براي فانكشينال است كه مي تواند يك مقدار مينيمم يا ماكزيمم باشد در هر صورت نوع مقدار بحراني را به سادگي مي توان تعيين كرد و ما ضمن ارائه‌ي مثال آنرا روشن مي‌كنيم .
مثال 1: منحني بحراني و مقدار بحراني تابعك زير را بيابيد و نوع آن را مشخص كنيد؟
حل) داريم و معادله ي اويلر- لاگرانژ در اينجا به صورت زير در مي‌آيد.
يا كه داراي جواب عمومي است با توجه به شرايط مرزي داده شده مي‌يابيم كه همان منحني بحراني است و مقدار بحراني عبارت است از :
براي اينكه ببينيم اين مقدار بحراني ماكزيمم است يا مينيمم ، مقدار تابعك J به ازاي يك منحني ديگر مثلا يك خط راست ، كه از دو نقطه (0,0) و مي گذرد مي يابيم معادله ي خط راستي كه از اين دو نقطه مي گذرد به صورت است و لذا :
بنابراينJ(sin x) يك مقدار مينيمم است .
مثال 2: منحني بحراني و مقدار بحراني تابعك زير را بيابيد؟
حل) معادله ي اويلر – لاگرانژ به صورت y”-6x=0 در مي آيد كه داراي جواب عمومي y=x3+c1x+c2 است با توجه به شرايط كرانه اي مي يابيم كه y=x3 همان منحني بحراني است و مقدار بحراني برابر است با :
مثال 3. نشان دهيد كه در مساله‌ي زير داراي يك جواب ناپيوسته است .
حل) داريم F(x,y ,y´)=y2 و معادله ي اويلر – لاگرانژ به صورت Fy=0 يا y=0 در مي‌آيد كه از دو نقطه y(0)=0 و y(1)=0 مي گذرد بنابراين تابع y=0 تابعك را مينيمم مي كند در هر صورت جواب مسئله‌ي مورد نظر را مي توان به صورت :
در نظر گرفت كه تابعك مورد نظر را مي نيمم مي كند ولي چنانچه مشاهده مي كنيم اين تابع پيوسته نيست و در نتيجه يك تابع مجاز نيست .
چنين نيست كه هر مسئله به صورت (1-1) داراي جواب پيوسته باشد مثلاً اگر F(x,y ,y´) نسبت به y´ خطي باشد ،‌يعني بتوان نوشت F(x,y,y´)=M(x,y)+N(x,y)y´ با اين فرض معادله اويلر – لاگرانژ به صورت My(x,y)-Nx (x,y)=0 در مي آيد كه تابعي از y و x است و معادله ديفرانسيل مرتبه دومي حاصل نمي شود و جواب حاصل از آن نمي تواند از دو نقطه‌ي دلخواه (x0,y0) و (x1,y1) بگذرد .
مثال 4. نشان دهيد كه مساله زير داراي جواب نيست.
از معادله اويلر- لاگرانژ نتيجه مي‌شود My-Nx=y-x=0 يا y=x كه نمي‌تواند در شرايط كرانه‌اي داده شده صدق كند.
همينطور اگر F تابعي برحسب x‌يا y يا x وy باشد مسئله تغييراتي (1-1) داراي جواب نيست .
هم اكنون فرض كنيد F تنها به y’ وابسته است يعني F=F(y´) .
آنگاه معادله‌ي اويلر – لاگرانژ عبارت است از Fy´y´y”=0 در نتيجه y”=0 يا Fy’y’=0 آنگاه y=c1x+c2 يك خانواده دو پارامتري از خطوط راست است چنانچه Fy´y´y´´=0 داراي يك يا چند ريشه ي حقيقي y’=k باشد آنگاه y=kx+c و ما با يك خانواده خطوط مستقيم مواجه هستيم كه از روي y=c1x+c2 نيز نتيجه مي شود بنابراين جواب در اين حالت نيز همان y=c1x+c2 است. .
مثال 5. نشان دهيد كه كوتاهترين فاصله بين دو نقطه ي(x1,y1) , (x0,y0) يك خط راست است.
حل) هر گاه منحني c به معادله ي y(x) از دو نقطه مورد نظر بگذرد آنگاه طول قوس منحني عبارت است از :
جواب اين مسأله يك خط راست است. پس كوتاه‌ترين فاصله بين دو نقطه خط راست است.
اكنون فرض كنيد F فقط تابعي از x و باشد، يعني در اين حالت معادله اويلر- لاگرانژ عبارت است از ، و يا است كه يك معادله ديفرانسيل مرتبه اول است. با حل آن يك جواب عمومي براي معادله اويلر- لاگرانژ حاصل مي‌شود كه وابسته به دو عدد ثابت است. پس مسأله داراي جواب است.
مثال 6. تابعك
معادله حركت ذره‌اي از نقطه‌اي به نقطه ديگر در طول يك منحني با سرعت است. جواب معادله اويلر لاگرانژ حاصل از اين تابعك را به دست آوريد.
حل) معادله اويلر- لاگرانژ به صورت در مي‌آيد. با قرار دادن مي‌يابيم.
با فرض داريم از طرفي از اينكه مي‌يابيم . با انتگرال‌گيري نتيجه‌ مي‌شود و از اينرو
جواب پارامتري مورد نظر است. با حذف t بين آنها مي‌يابيم.
كه مكان هندسي دايره‌هايي است كه مركزشان روي محور y است.
بالاخره مسأله را در حالتي بررسي مي‌كنيم كه در آن F تنها به y و وابسته است، يعني ، در اين حالت معادله اويلر- لاگرانژ برابر است با:
با ضرب طرفين آن در ، معادله را مي‌توان به صورت نوشت، در واقع
در نتيجه معادله اويلر- لاگرانژ بعد از انتگرال‌گيري به صورت زير در مي‌آيد.
كه با حل آن به جواب مي‌رسيم.
مثال 7. مساحت سطح حاصل از دوران منحني از نقطه تا در حول محور x عبارت است از
جواب معادله اويلر- لاگرانژ را براي تابعك فوق بدست آوريد.
حل) F در اينجا به وابسته است. با جايگذاري در معادله اويلر- لاگرانژ خواهيم داشت.
با تغيير متغير مي‌يابيم از طرفي
يا
بنابراين با حذفt، كه يك منحني كسينوس هذلولوي مي‌باشد، بدست مي‌آيد كه جواب مورد نظر است.
مثال 8. مسأله تغييراتي زير را در نظر مي‌گيريم.
اين مسأله توسط برنولي مطرح شده است. در بررسي حركت يك گلوله در طول يك منحني از تا و پيدا كردن مسيري كه زمان طي شده در طول آن جهت حركت گلوله از A تا B برنولي به مسأله تغييراتي فوق رسيده است. جواب معادله‌ي اويلر- لاگرانژ را براي اين تابعك بيابيد.
حل) با توجه به معادله، اويلر- لاگرانژ
مي‌يابيم
و يا يا با فرض مي‌يابيم.
از طرفي
بنابراين خواهيم داشت
از شرط مي‌يابيم با تغيير متغير مي‌يابيم.
که نمايش پارامتري يک سيکلوئيد است پس بهترين مسير جهت رسيدن از A تا B در کوتاه‌ترين زمان ممکن پيمودن منحني سيکلوئيد است .
حال تعميمي از مسئله‌ي بنيادي را مي‌آوريم فرض مي‌کنيم J تابعي بيش از يک تابع مثل yn,….y2,y1 ، در واقع n تابع مستقل از x باشد منظور پيدا کردن يک مجموعه از توابع Yn=yn,…,Y1=y1 است به طوري که:
را مي‌نيمم سازد معادلات اويلر – لاگرانژ در اين حالت به صورت زير در‌مي آيند .
بنابراين منحني‌هاي بحراني از حل n دستگاه معادلات اويلر – لاگرانژ فوق حاصل مي‌شوند .
حال مثالي از قرن بيستم مي‌آوريم که در سال 1957توسط بلمن ارائه شده است .
1-10-2 برنامه‌سازي پويا32

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

برنامه‌سازي پويا يک روش بهينه‌سازي قوي است که ممکن است براي هر مسئله که حل آن يک فرآيند تصميم گيري چند مرحله‌اي را در بر دارد به کار رود . براي روشن شدن مطلب مسئله بنيادي زير را مجددا در نظر مي‌گيريم.
فرض کنيد c نقطه‌اي بين x0 تا x1‌باشد و در طول منحني بحراني c از (x0,y0) حرکت کرده و به نقطه‌ي ((c ,y برسد و بخواهد براي الباقي منحني در فاصله‌ي c تا x1 ، J(y) بهينه باشد براي انجام چنين کاري بايد مي‌نيمم باشد با تغيير c‌ يک فرآيند جديد حاصل مي‌شود و در اينجا مي‌گوييم يک فرآيند تصميم گيري چند مرحله‌اي داريم که در آن تعداد مراحل متناظر با c ، تا بي نهايت زياد مي‌شود.
اکنون مسئله‌ي تغييراتي زير را در نظر مي‌گيريم:
فرض مي‌كنيم که براي x وy معمولي منحني وجود دارد که را مي‌نيمم سازد اين مي‌نيمم را به صورت زير تعريف مي‌کنيم
فاصله‌ي را به دو فاصله تقسيم مي‌کنيم
را در فاصله‌ي بهينه مي‌گيريم در حاليکه در فاصله‌ي دلخواه است و برابر با مي‌باشد در اين صورت :
بنابراين :
حال با توجه به تعريف S(x,y) و اينکه بر بهينه است مي‌يابيم .
که در آن و همچنين
که در آن Y دلخواه است بنابراين :
با مي‌نيمم سازي طرف دوم در‌مي‌يابيم .
و با بسط جمله‌ي آخر مي‌يابيم :
که اين مقدار مي‌نيمم با مشتق‌گيري از عبارت فوق نسبت به و صفر قرار دادن آن حاصل مي‌شود.
كه معادله اساسي مشتق جزيي برنامه‌سازي پويا است.
1-10-3- روش ريلي – ريتز (يك روش مستقيم )
تاكنون چنانچه ديديم روش كار چنين بوده است كه مسائل مربوط به حساب تغييرات را به مسائلي به فرم معادلات ديفرانسيل بر مي گردانديم و سپس آن‌ها را حل مي كرديم اويلر-لاگرانژ دقيقا قابل حل نيست و روش كلاسيك حل را همواره نمي توان به كار برد مثلا مسئله‌ي تغييراتي
داراي معادله ي اويلر – لاگرانژي به صورت :
با شرايط كرانه اي 1=(1)y و است .
اين مسئله يك مسئله ي غيرخطي است كه آنرا دقيقا نمي توان حل كرد اين وضعيت باعث گسترش روش هاي تغييراتي مستقيم شده است كه در ‌آن مستقيما با تابع J(Y) كار داريم به فرض اينكه غير مستقيم با معادله ي ديفرانسيل اويلر – لاگرانژ سروكار داشته باشيم .
در اينجا يكي از روش هاي مستقيم كه در واقع حاصل زحمات ريلي و ريتز مي باشد را مورد بررسي قرار مي دهيم چگونگي انجام اين روش را در يك مسئله ي تغييراتي ساده ي درجه ي دوم توضيح مي دهيم.
مسئله‌ي تغييراتي :
را كه در آن w نامنفي است در نظر مي گيريم با بكاربردن معادله‌ي اويلر – لاگرانژ مي يابيم :
و يا
و يا معادله ي فوق را رها كرده و فرض مي كنيم y جواب مي نيمم مسئله ي فوق مي باشد به ازاي هر داريم:
در روش ريلي- ريتز J(Y) را براي تمام فضاي توابع مجاز مينيمم نمي‌سازيم بلكه براي فضاي متناهي Rn از توابع مينيمم مي‌سازيم. در آن صورت داريم:
هدف اين است كه مقدار طرف راست را دقيقا محاسبه كنيم و در نتيجه يك كران بالا براي J(y) بيابيم همزمان با آن مي نيمم تابع y در R يك تابع تقريبي براي تابع واقعي y مي باشد .
به عنوان مثال فرض كنيد.
كه در آن يك پارامتر است و هم چنين در شرايط كرانه اي نيز صدق مي كند با جايگزين كردن آن در J(Y) به صورت تابعي از بيان مي شود . اكنون را با حل برحسب مي نيمم مي سازيم. اين مقدار بهينه براي را در بدست مي‌آوريم :
اين روش را با انتخاب :
ادامه داده و مقادير مينيمم و را از روي
مي‌يابيم و با توجه به آن داريم :
اين روش تكرار را مي توان به همين صورت ادامه داد و تقريب خوبي براي J(y) يافت در حالت كلي چنين قرار مي دهيم
كه در آن توابع معين هستند و ها طوري مشخص مي شوند كه :
و اين يك كران بالا براي J(y) نتيجه مي دهد و حاصل تقريبي براي y خواهد بود يعني:
و
مثال 9 . مسئله ي تغييراتي زير به روش ريلي- ريتز حل كنيد .
حل) فضاي را كه شامل توابع زير است در نظر مي‌گيريم :
با جايگزين كردن آن در مسأله مي‌يابيم
با فرض
مي يابيم
از نتيجه مي شود
و لذا
يك كران بالا براي J(y) مي باشد و يك تقريب تغييراتي ساده براي تابع بحراني واقعي y مي‌باشد .
فصل دوم
مروري بر پيشينه تحقيق
2-1- مقدمه
در فصل حاضر قصد بر اين است که مروري بر تحقيقات صورت گرفته در زمينه تاريخچهي شکل‌گيري اسپلاين و اينکه انگيزهي اصلي از اينگونه تعريف براي اسپلاينها چه بوده ارائه ميدهيم.
تاکنون روي اسپلاينها هم در بعد تئوري و هم در بعد عملي کارهاي بسياري انجام شده است.
تعدادي از محققان،اسپلاينهاي چندجملهاي و غيرچندجملهاي را براي بدست آوردن جواب عددي معادلات ديفرانسيل بکار بردهاند.
نخستين بار لوسکالسو و تالبوت، اسپلاين با حداکثر همواري را براي حل مسئله مقدار اوليه همراه با تعداد زيادي شرايط جالب انتگرالي بکار بردند. به عنوان مثال قاعدهي ذوزنقهاي و يا روش ميلن-سيمپسون از روشهاي تصحيح يافتهاي هستندکه از حالتهاي خاص اسپلاين بدست آمدهاند. اما دليل عمدهي اينکه چرا استفاده از توابع اسپلاين در انتگرالگيري عددي ناپايدار است اينست که جوابهاي عددي در حالت خاص بيش از حد هموار هستند.
استفاده از توابع اسپلاين براي حل مسائل مقدار مرزي توسط بسياري از نويسندگان انجام شده، اما نخستين بار بيکلي اسپلاين درجه سوم معمولي را براي حل مسئلهي مقدار اوليه خطي بکار برد.
همانطور که ميدانيم روش بيکلي براي حل مسئلهي مقدار اوليه فقط داراي دقت از مرتبه ( ميباشد، اين در حاليست که ما ميدانيم خود اسپلاين درجه سوم معمولي داراي دقت مرتبه ( است.پس ما بايد طبيعتاً به دنبال راهحلي باشيم که با استفاده از اسپلاين درجه سوم معمولي دقت مرتبه‌ي ( را بدست آوريم. براي اينکه قادر باشيم چنين کاري انجام دهيم ما تابع اسپلاين را به يک پارامتر مانند وابسته ميسازيم و اسپلاين پارامتري را براي حل مسئله مقدار مرزي در طول بازه مورد نظر ميسازيم. اسپلاينها از کلاس هستند واگر ميل کند آنگاه اسپلاين پارامتري به اسپلاين درجه سوم معمولي تقليل مييابد.
مطالب اين فصل با استفاده از منابع شماره 67،62،59،57،55،54،44،42،41،34،33،29،20،18،17،16،9،6 ارايه شد.
2-2- تاريخچه تعريف اسپلاين
در ابتداي بحث از اسپلاين ما يک تاريخچه از شکل گيري اسپلاين و اينکه انگيزه‌ي اصلي از اينگونه تعريف براي اسپلاين‌ها چه بوده ارائه مي‌دهيم[67] . در گذشته مهندسان نقشه کش براي رسم يک منحني هموار بين دو نقطه، از نوارهاي باريک و طويل چوبي يا جنس ديگر مانند پيستوله33 استفاده مي‌کردند. اين نوارها با تکيه و چنبر زدن بر نقاطي که در طول مسير آنها قرار داده مي‌شدند (گره‌ها34)، سر جايشان مي‌ايستادند. با تغيير جاي نقاط گره‌ها و همچنين تغيير وضعيت خود نوارها (اسپلاين‌ها)، مي‌توان تغييرات وضعيت نوار و گره‌ها را به هم مرتبط ساخت. مي‌توان يک اسپلاين ساخت که از تعداد مشخصي نقطه، که تعداد مشخصي گره را بوجود آورده اند بگذرد.
اگر نوار اسپلاين مهندسان را بکار ببريم، آنگاه قانون برنولي- اويلر:
برقرار خواهد بود.
در اينجا ميزان خم شدن و وضعيت نوار، قدر مطلق يانگ35، وضعيت هندسي اينرسي و همچنين ، شعاع انحنا مي‌باشد. پس بنابراين خواهيم داشت:
توجه کنيد که در اين مدل از کار مهندسان اگر نقاط گرهي آنها بطور موثر و کارآمد عمل کنند، آنگاه تغييرات در فاصله‌ي دو گره خطي خواهد بود.
اسپلاين رياضي نيز نتيجه‌ي جايگزيني قطعات درجه سوم بجاي نوارهايي است که مهندسان بين هر دو نقطه‌ي گره بکار مي‌بردند (معمولا بين هر دو نقطه‌ي گرهي، يک تابع درجه سوم رسم مي‌شود).
اين توابع درجه سوم داراي ناپيوستگي‌هاي مجازي در نقاط انفصال که منحني‌هاي درجه سوم به هم مي‌رسند، مي‌باشد.
اسپلايني که مهندسان بکار مي‌برند براي بسياري از کاربردهاي رياضي انعطاف پذيري بالايي ندارند.
اسپلاين رياضي يک گسترش قابل قبول از اسپلايني است که مهندسان نقشه کش بکار مي‌برند. اين اسپلايني که ما در حال حاضر در اين شکل کنوني استفاده مي‌کنيم، نخستين بار در سال 1946 در مقاله‌اي توسط شونبرگ36 ارائه شد. همانطوري که گفته شد رابطه‌ي بسيار نزديکي بين نظريه‌ي نوارها و اسپلاين‌ها وجود دارد. سوکولنيکوف37 [63] در سال 1956 يک گسترش خلاصه اما بسيار خواندني از نظريه‌ي نوارها ارائه کرد.
همانطور که در مقاله‌ي شونبرگ اشاره شده است، تقريب‌هايي که در کاربردهاي معماري بکار برده مي‌شود دقيقا شامل همان مفهوم‌هاي اسپلاين رياضي است.
بعد از 1946 نيز شونبرگ و تعدادي از شاگردان او به تحقيق و کار بر روي اسپلاين‌ها ادامه داند. بخصوص شونبرگ و ويتني در (1949، 1953) براي نخستين بار يک قضيه براي اثبات وجود اسپلاين‌هاي درون ياب، اثبات کردند. همچنين گفتني است براي مسأله‌ي وجود و يکتايي اسپلاين‌ها از هر مرتبه‌اي يک اثبات ساده تر در کتاب آلبرگ38، نيلسون39 و والش40 آمده است.
توابع تکه‌اي قبل از اينها نيز به همراه قضيه‌ي پئانو براي حل مسائل مقادير اوليه بکار برده شده بود اما هنوز تحت نام اسپلاين نبود. معمولا يک اسپلاين، يک چند جمله‌اي قطعه قطعه است که در يک ناحيه مانند D تعريف مي‌شود که در آن D قابل تجزيه به تعدادي زيرمجموعه است که تابع f در هر کدام از آنها بوسيله‌ي يک چندجمله‌اي درجه m تقريب زده مي‌شود. همچنين تابع ذکر شده همراه با (m-k) مشتق اوليه اش در ناحيه ذکر شده پيوسته است. کاربرد اسپلاين به عنوان يک تابع تقريب زن و درون ياب بسيار موفق بوده است ([18]، [29]، [57]).
2-3- تاريخچه به کارگيري اسپلاين در حل معادلات ديفرانسيل
تاکنون روي اسپلاين‌ها هم در بعد تئوري و هم در بعد عملي کارهاي بسياري انجام شده است. تعدادي از محققان، اسپلاين‌هاي چند جمله‌اي و غير چندجمله‌اي را براي بدست آوردن جواب عددي معادلات ديفرانسيل بکار برده اند. از آن جمله مي‌توان به دي بور 41 [17]، [18]، آلبرگ42، لوسکالسو43 و تالبوت44 [41]، [42]، بيکلي45 [9]، فايف46 [20]، الباسيني47 و هوسکينز48 [6]، ساکايي49 [62]، راسل50 و شامپاين51 [59] ، ميکولا52 [44] ، شوارتز53، جين54 و عزيز55 [33]، رشيدي نيا56 [54] و غيره اشاره کرد.


پاسخی بگذارید