(آنگسترم)494000374500315000265500226000176500
از جدول بالا واضح است که ميزان فعاليت اپتيکي کوارتز برحسب طول موج تغيير مي کند. به اين تغيير توان چرخشي برحسب طول موج، پاشندگي چرخشي گفته مي شود [8].
منشا فعاليت اپتيکي طبيعي، ساختار بلوري يا ساختار مولکولي کايرال مي باشد. اگر ساختار غيرمنطبق با تصوير آينه اي خود باشد فعاليت اپتيکي ممکن است رخ دهد [7].
در حوزه الکترومغناطيس کلاسيک، فعاليت اپتيکي را مي توان براساس مدل ساده و زيباي فرنل توضيح داد. کافي است فرض کنيم که سرعت انتشار نور قطبيده دايروي راست، متفاوت با سرعت انتشار نور قطبيده دايروي چپ در محيط است [8]. براي بيان اين موضوع، استفاده از بردار جونز مناسب است. فرض مي کنيم که و به ترتيب ضريب شکست محيط براي نور قطبيده دايروي راستگرد و چپگرد با فرکانس را نشان دهند. و مي گيريم. بردار جونز موجهاي راستگرد و چپگرد عبارتند از:
(1-2)با فرض اينکه باريکه نور فرودي قطبيده خطي و قطبش اوليه در راستاي افقي است، مي توان بردار جونز اوليه را برحسب دو بردار جونز بالا نوشت:
(1-3)بردار جونز نور پس از طي مسافت از محيط عبارت است از:
(1-4)با معرفي دو کميت و
(1-5)(1-6)بردار جونز بصورت زير نوشته مي شود:
(1-7)رابطه (1-7) نشان دهنده چرخش راستاي قطبش نور به اندازه ? نسبت به راستاي اوليه آن است. به اين ترتيب مي توان نوشت:
(1-8) طول موج نور در خلا مي باشد. لازم به ذکر است که ضرايب شکست و هر يک تابعي از طول موج نيز مي باشند. به عنوان مثال ضرايب شکست و براي انتشار نور در راستاي محور اپتيکي کوارتز در جدول (1-2) آورده شده است:
جدول (1-2) ضرايب شکست نور دايروي چپگرد و راستگرد در کوارتز. اين مقادير مربوط به کوارتز راستگرد بوده و براي کوارتز چپگرد، مقادير بالا معکوس مي شوند [8].
00011/055821/155810/1396000007/054427/154420/1589000006/053920/153914/17600
پديده ديگري که در مواد فعال اپتيکي مشاهده مي شود، دوفامي دايروي3 است. مواد دوفام دايره اي، نورهاي قطبيده دايروي راستگرد و چپگرد را به ميزان متفاوتي جذب مي کنند [11]. بزرگي دوفامي دايروي از تفاضل ضرايب جذب نور قطبيده دايروي راستگرد و چپگرد بدست مي آيد:
(1-9)شکل (1-2) به عنوان مثال طيف دوفامي دايروي يک پلي پپتيد با آرايش مارپيچ-? و صفحه-? را نشان مي دهد.
شکل (1-2) طيف دوفامي دايروي يک پلي پپتيد با آرايش مارپيچ-? و صفحه-? [11].
1-2.چرخش فارادي
هرگاه يک دي الکتريک ايزوتروپيک در ميدان مغناطيسي قرار داده شود و يک باريکه نور قطبيده خطي از آن در راستاي ميدان عبور داده شود، آنگاه شاهد چرخش صفحه قطبش نور خواهيم بود. به عبارت ديگر حضور ميدان سبب فعاليت اپتيکي ماده مي شود [8]. اين پديده در سال 1845 توسط مايکل فارادي4 کشف گرديد. ميزان چرخش صفحه قطبش نور متناسب با اندازه ميدان مغناطيسي و طول مسير حرکت نور در محيط است، يعني
(1-10) معروف به ثابت وردت5 است. مشخصه ماده مي باشد. به عنوان مثال مقادير ثابت وردت چند نمونه در نور زرد با طول موج 5890 آنگسترم در جدول (1-3) آورده شده است:
جدول (1-3) مقادير ثابت وردت براي چند ماده [8].
(Minutes of Angle/per Oe/cm)ماده0009/0فلوريت012/0الماس050/0- 030/0چخماق036/0سديم کلرايددر حوزه فيزيک کلاسيک به منظور شرح اثر فارادي، مي بايست معادله حرکت الکترون هاي مقيد در حضور ميدان مغناطيسي خارجي و ميدان الکتريکي نوساني نور را بررسي کرد. معادله ديفرانسيل حرکت الکترون عبارت است از:
(1-11) در اين معادله مکان الکترون از نقطه تعادل آن، ثابت فنر معادل، جرم الکترون و بار الکترون مي باشد. به منظور ساده سازي محاسبات از نيروي کوچک حاصل از ميدان مغناطيسي نور و نيز اثرات ميرايي صرف نظر شده است. با فرض اينکه ميدان بستگي زماني دارد، نيز داراي بستگي زماني هارمونيک مشابه است. پس مي توان نوشت:

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

(1-12) قطبش محيط است. در اينجا تعداد الکترون در واحد حجم محيط مي باشد. بنابراين رابطه (1-12) را مي توان بصورت زير بازنويسي نمود:
(1-13)رابطه برداري (1-13) معادل سه معادله براي مولفه هاي ، ، بردار قطبش است. با حل معادله مي بينيم که هر مولفه بصورت خطي به ميدان بستگي دارد. به عبارت ديگر
(1-14)که تانسور پذيرفتاري است. از حل معادله (1-13) داريم:
(1-15)به طوري که
(1-16) فرکانس تشديد و فرکانس سيکلوترون است.
براي اينکه نشان دهيم ، تانسور پذيرفتاري محيط فعال اپتيکي است، کافي است معادله موج را حل کنيم. فرض مي کنيم راستاي انتشار نور، راستاي است. معادله موج در حوزه فوريه عبارت است از
(1-17)برحسب مولفه هاي داريم:
(1-18)
(1-19)
(1-20)از رابطه (1-20) خواهيم داشت: . از روابط (1-18) و (1-19) شرط غير صفر بودن و را مي توان نوشت:
که حل آن عبارت است از
(1-21)با جايگذاري k از رابطه (1-21) در رابطه (1-18) يا (1-19) خواهيم داشت:
(1-22)بنابراين نتيجه مي گيريم دو مقدار بدست آمده براي k از رابطه (1-21) متناظر با نور قطبيده دايروي راستگرد و چپگرد مي باشند. پس به ترتيب ضرايب شکست مربوط به نور قطبيده دايروي راستگرد و چپگرد را مي توان بصورت زير نوشت:
(1-23) (1-24)تفاضل و را مي شود نوشت:
(1-25)که در آن ضريب شکست عادي مي باشد. پس طبق رابطه (1-8) چرخش سطح قطبش خواهد شد:
(1-26)رابطه (1-26) نشان مي دهد که چرخش صفحه قطبش نور به طور مستقيم متناسب با مولفه تانسور پذيرفتاري است.
1-3.بررسي فعاليت اپتيکي با فرض کوانتش ماده و کلاسيک بودن نور
توجيه فعاليت اپتيکي که پيش از اين مطرح شد، کاملا در حوزه فيزيک کلاسيک است. ناکافي بودن اين نظريه واضح مي باشد. اکنون به مرور نظريه اي که ماده را کوانتومي و نور را کلاسيک در نظر مي گيرد، مي پردازيم. نور قطبيده تخت را مي توان بصورت ترکيب دو مولفه نور قطبيده دايروي راستگرد و نور قطبيده دايروي چپگرد بيان نمود [9].
(1-27)بردارهاي و بردارهاي واحد عمود بر راستاي انتشار مي باشند و
(1-28)رابطه (1-28) نشان دهنده متفاوت بودن سرعت انتشار نور قطبيده دايروي راستگرد و چپگرد در محيط و همچنين متفاوت بودن ضرايب شکست و نور قطبيده دايروي راستگرد و چپگرد نيز مي باشند. با توجه به معادلات ماکسول، تغيير فضايي ميدان الکتريکي متناسب با تغيير زماني ميدان مغناطيسي مي باشد يعني . بنابراين قطبش الکتريکي ناشي از تغيير فضايي ميدان الکتريکي متناسب با تغيير زماني ميدان مغناطيسي مي باشد. به اين ترتيب با در نظر گرفتن تغيير فضايي ميدان الکتريکي انتظار داريم قطبش کل محيط بصورت زير به و بستگي داشته باشد.
(1-29)جمله متناظر با ممان دوقطبي الکتريکي در صفحه بردار الکتريکي و جمله متناظر با ممان الکتريکي در صفحه اي موازي با و عمود بر مي باشد. در محيط هاي غيرفعال اپتيکي جمله دوم سمت راست رابطه (1-29) وجود نخواهد داشت. اما در صورت غير صفر بودن انتظار مي رود باشد.
در ادامه توجه مي کنيم که براساس معادله ماکسول و رابطه (1-27)، مولفه مغناطيسي ميدان الکترومغناطيسي خواهد شد:
(1-30)آنگاه
(1-31)(1-32)(1-33)خواهيم داشت:
طبق معادله ماکسول پس
(1-34)سپس با جايگذاري روابط (1-31)، (1-32) و (1-33) در رابطه (1-34) مي توان نوشت:
(1-35)با جايگذاري و رابطه (1-35) را مي توان بصورت زير بازنويسي کرد:
(1-36)رابطه (1-36) يک معادله درجه دوم براي مي باشد. بنابراين ضرايب شکست يک محيط فعال اپتيکي به طور تقريبي برابر است با:
(1-37)اکنون مي بايست قطبش محيط را در پاسخ به ميدان الکترومغناطيسي بصورت کوانتومي محاسبه نمود. به عبارت ديگر به محاسبه و مي پردازيم. هاميلتوني اختلال را مي توان اينگونه نوشت:
(1-38) و به ترتيب عملگرهاي ممان دوقطبي الکتريکي و ممان دوقطبي مغناطيسي مولکول مي باشند. بعلاوه
(1-39)هاميلتوني را با جايگذاري رابطه (1-39) در (1-38) اينگونه مي نويسيم:

(1-40)
در اينجا عامل را وارد کرده ايم تا اختلال بصورت کند روشن شود. با در نظر گرفتن ضرايب تابع موج اختلالي ، مقدار چشمداشتي عملگر ممان دوقطبي الکتريکي خواهد شد:

تمام توابع مربوط به اتم منفرد، حقيقي در نظر گرفته مي شوند. بنابراين عناصر ماتريسي حقيقي مي باشند در حالي که ها موهومي هستند. پس مي توان نوشت:
طبق رابطه (1-39)
(1-41)پس از ضرب کردن طرفين رابطه (1-41) در و مقايسه آن با رابطه (1-29) خواهيم داشت:
(1-42)گرچه اين نظريه بخوبي فعاليت اپتيکي را توجيه مي کند اما هنوز ناقص است، چراکه ميدان الکترومغناطيسي نيز بايد کوانتيده در نظر گرفته شود. در ادامه اين مبحث را روشنتر مي کنيم.
1-4.لزوم کوانتش ميدان الکترومغناطيس
لزوم کوانتش ميدان الکترومغناطيسي، از همان ابتدا که انيشتين نظريه پديده شناختي خود را براي توجيه تابش اتم ارائه کرد، معلوم شد. انيشتين سه فرايند تابش خود بخودي، جذب و تابش القايي را معرفي کرد. به شکل (1-3) نگاه کنيد.
شکل (1-3) سه گذار تابشي انيشتين [1].
در ابتدا يک اتم در حالت برانگيخته را در نظر بگيريد. اتم به طور خود بخودي به حالت بر مي گردد و فوتون با انرژي تابش مي شود [1]. از مدل انيشتين، نرخ گسيل خود بخودي است.
اکنون يک اتم در حالت را در نظر بگيريد. در حضور تابش، گذار از حالت به حالت همراه با جذب يک فوتون با انرژي انجام مي شود. نرخ چنين گذاري متناسب با چگالي انرژي تابشي و برابر است.
در فرايندي ديگر، فوتوني با انرژي ، اتمي در حالت را تحريک مي کند که منجر به گذار اتم از حالت به حالت با نرخ متناسب با چگالي انرژي تابشي مي گردد.
اکنون به بررسي تاثير اين سه فرايند روي جمعيت ترازهاي اتمي مي پردازيم. مي توان نوشت:
(1-43) در حالت تعادل تغييرات زماني جمعيت صفر مي شود.
(1-44)از حل رابطه (1-44)، تحت شرايط تعادل گرمايي داريم:
(1-45)متوسط تعداد اتم ها در دو تراز در حالت تعادل گرمايي از قانون بولتزمن پيروي مي کنند، پس مي توان نوشت:
(1-46)با جايگذاري رابطه (1-46) در رابطه (1-45) داريم:
(1-47)به اين ترتيب از مقايسه رابطه (1-47) با قانون پلانک خواهيم داشت:
(1-48)(1-49)سه ضريب انيشتين مستقل از هم نمي باشند. فرايند گسيل خود بخودي نقشي اساسي دارد. اما اگر معادله شرودينگر را براي اتم بپذيريم، اتمي که در ويژه حالت است، در همان حالت باقي خواهد ماند و به حالت گذار نخواهد کرد. وقتي اين تناقض حل مي شود که کوانتومي بودن ميدان الکترومغناطيسي هم در نظر گرفته شود. براي جزئيات به مرجع [1] و ساير مراجع نگاه کنيد.
1-5.پايان نامه
با توجه به مقدمات ذکر شده، بايد در بررسي برهم کنش نور و ماده، هم ميدان الکترومغناطيسي و هم ماده را بصورت کوانتومي بررسي کرد. در فصل سوم اين پايان نامه با در نظر گرفتن ميدان الکترومغناطيس کوانتيده و يک اتم منفرد به بازآفريني محاسبه چرخش اپتيکي ارائه شده در مرجع [4] مي پردازيم. سپس در فصل چهارم، از مساله يک اتم به مساله چند اتم مهاجرت مي کنيم و اثرات اتمي جمعي را مرور مي کنيم. پديده ابرتابش ديکي6 را مطرح مي نماييم. اين اثر دسته جمعي که مجموعه اتم مي توانند تابشي شديدتر از برابر تابش يک اتم يکسان داشته باشند، شايد به حوزه فعاليت اپتيکي هم قابل تعميم باشد. البته ما هنوز موفق به ساختن اين نظريه نشده ايم.
فصل دوم
کوانتش ميدان الکترومغناطيسي
1-1.مقدمه
اين نکته پذيرفته شده است که تاکنون مکانيک کوانتومي بهترين تصوير از پديده هاي فيزيکي و کامل ترين توصيف از ميدان تابشي را فراهم آورده است. در اين نظريه ميدان هاي مشاهده پذير و به صورت عملگر نمايش داده مي شوند. اين فصل به مرور کوانتش ميدان الکترومغناطيسي [1] اختصاص يافته است. عبارت هايي براي عملگرهايي که توصيف کننده مشاهده پذيرهاي ميدان هستند، و انواع حالت هاي ميدان بدست مي آيند. مشاهده خواهد شد که کوانتش، اثرات ويژه مکانيک کوانتومي را به ميدان تابشي القا مي کند. به عنوان مثال، داشتن موج الکترومغناطيسي با دامنه و فاز کاملا مشخص ممکن نيست [1].
2-2.نظريه پتانسيل براي ميدان الکترومغناطيسي کلاسيکي
معادلات ماکسول کلاسيک براي ميدان هاي الکترومغناطيسي در خلا به صورت زير نمايش داده مي شوند:
(2-1)(2-2)(2-3)(2-4)به طوري که و به ترتيب چگالي هاي بار و جريان مي باشند. ميدان هاي کلاسيکي ماکسول بر حسب پتانسيل هاي اسکالر و پتانسيل برداري قابل بيان هستند. براي برقراري رابطه (2-4) معادلات ماکسول، مي توان را بر حسب پتانسيل طبق رابطه (2-5) اينگونه نوشت.
(2-5)
جايگذاري اين عبارت در معادله (2-1) با توجه به اتحاد مي دهد . پس مي توان نشان داد که
(2-6)پس در صورتي که پتانسيل هاي و معلوم باشند آنگاه مي توان طبق روابط (2-5) و (2-6) ميدان هاي و را يافت. پتانسيل ها را مي توان با جايگذاري روابط (2-5) و (2-6) در معادلات ماکسول (2-2) و (2-3) بدست آورد:
(2-7)و
(2-8)يادآوري مي کنيم که و .
بايستي توجه داشت تعاريف (2-5) و (2-6) براي و نمي توانند پتانسيل را به طور کامل تعيين نمايند. با فرض آنکه و ميدان هاي الکتريکي و مغناطيسي و را بدست دهند، پتانسيل هاي جديد و که بصورت زير تعريف مي شوند نيز کارساز هستند.
(2-9)(2-10)در اينجا ? ، تابعي دلخواه از مکان و زمان t مي باشد. از رابطه (2-6) آشکار است و تحت تبديل پيمانه اي فوق تغيير نمي کنند.
2-3.پيمانه کولن
در صورتي که پتانسيل برداري از شرط زير تبعيت نمايد، گفته مي شود که از پيمانه کولن استفاده شده است.
(2-11)
با استفاده از پيمانه کولن مي توان معادلات ميدان (2-7) و (2-8) را به صورت زير ساده نمود:
(2-12)(2-13)2-4. ميدان کلاسيکي آزاد
در ادامه امواج الکترومغناطيسي را در ناحيه اي از فضا که داراي بار و جريان الکتريکي نيست، بررسي مي کنيم. چون معادله (2-13) به ما مي دهد . بنابراين از رابطه (2-12) داريم:
(2-14)اکنون ناحيه مکعبي از فضا به طول L مشابه با کاواک مکعبي بررسي مي گردد، “کاواک” فقط به عنوان ناحيه اي از فضا بدون هيچ مرز واقعي در نظر گرفته مي شود. به جاي حل امواج ايستاده از امواج رونده سازگار با شرايط مرزي دوره اي استفاده مي کنيم. با اين وصف، پتانسيل برداري در کاواک را مي توان به صورت سري فوريه بسط داد:
(2-15)به طوري که مولفه هاي بردار موج داراي مقادير زير خواهد بود:
(2-16)که اعداد صحيح هستند.
پيمانه کولن (2-11) برقرار خواهد بود در صورتي که داشته باشيم
(2-17)به ازاي هر دو جهت مستقل براي وجود خواهد داشت. مولفه هاي فوريه مستقل بوده و مي بايست جداگانه در معادله موج (2-14) صدق کنند. بنابراين خواهيم داشت:
(2-18)به طوري که
(2-19)به اين ترتيب ضرايب فوريه از يک معادله هارمونيک ساده تبعيت مي کنند.
در اينجا انرژي الکترومغناطيسي مد نرمالي را که توسط بردار موج مشخص شده است را محاسبه مي کنيم. جواب معادله (2-18) به صورت زير بيان مي شود:
(2-20)و شکل کامل پتانسيل برداري طبق رابطه (2-15) خواهد شد:
(2-21)به اين ترتيب براي ميانگين زماني انرژي تک مد داريم:
(2-22)به طوري که علامت بار اشاره به ميانگين زماني در يک دوره تناوب داشته و و ميدان هاي الکتريکي و مغناطيسي مرتبط با مد را نشان مي دهند. از روابط (2-5)، (2-6) و (2-21) خواهيم داشت:
(2-23)
(2-24)بنابراين با جايگذاري روابط (2-23) و (2-24) در رابطه (2-22) و محاسبه ميانگين زماني خواهيم داشت:
(2-25)
که V = L3 حجم کاواک مي باشد.
طبق تبديل زير مي توان مختصه مکان تعميم يافته و اندازه حرکت تعميم يافته را جايگزين متغيرهاي و نمود.
(2-26)(2-27)مختصه هاي و کميت هاي اسکالر مي باشند. ويژگي هاي سمتي و را مي توان با معرفي بردار قطبش واحد در نظر گرفت. انرژي تک مد (2-25) را مي توان توسط روابط (2-26) و (2-27) به صورت زير بازنويسي کرد:
(2-28)رابطه (2-28) صورت متداول انرژي يک نوسانگر هارمونيک کلاسيکي را نشان مي دهد. بنابراين مساله پتانسيل برداري مربوط به کاواک معادل مساله نوسانگر هارمونيک کلاسيکي شده است. همچنين هاميلتوني کلاسيکي کل براي کاواک را مي توان با استفاده از رابطه (2-28) با جمع زدن روي و در نظر گرفتن دو راستاي مستقل تشکيل داد.
2-5.نوسانگر هارمونيک مکانيک کوانتومي
براي هاميلتوني کوانتومي نوسانگر هارمونيک يک بعدي با جرم واحد داريم:
(2-29)به طوري که و از رابطه جابه جايي تبعيت مي نمايند. سپس عملگرهاي و به منظور جايگزيني با و به صورت زير تعريف مي شوند:
(2-30)(2-31)عملگرهاي و به ترتيب عملگرهاي خلق و فناي نوسانگر هارمونيک ناميده مي شوند.
بنابراين با استفاده از روابط (2-30) و (2-31) مي توان جابه جاگر زير را محاسبه کرد:
(2-32)همچنين هاميلتوني به صورت زير بيان مي شود:
(2-33) عملگر تعداد ناميده مي شود. در صورتي که ويژه حالت انرژي نوسانگر هارمونيک با ويژه مقدار باشد، معادله ويژه مقداري آن خواهد شد:
(2-34)نشان داده مي شود که:
(2-35)حالت خلا حالت پايه متناظر کمترين انرژي را دارد. حالت در رابطه صدق مي کند.
، ويژه حالت هم زمان و تعريف مي شود:
(2-36)مي شود نشان داد که:
(2-37)(2-38)2-6.کوانتش ميدان
اکنون مي توان با مرتبط ساختن يک نوسانگر هارمونيک کوانتومي با هر مد k از ميدان تابشي، ميدان الکترومغناطيسي را کوانتيده نمود. مد هر عملگر کوانتومي به صورت زيرنويس نمايش داده مي شود، بنابراين و عملگرهاي خلق و فناي مد ميدان الکترومغناطيسي کاواک با بردار موج را نشان مي دهند. تعداد فوتون هاي با بردار موج برانگيخته شده در کاواک توسط ويژه مقدار مربوط به عملگر تعداد مشخص مي شود که داراي مقادير ممکن … ،2،1،0 مي باشد. حالت ميدان با نمايش داده مي شود.
حالت ميدان تابشي کل در کاواک توسط تعداد فوتون هاي برانگيخته شده از مجموعه مدهاي کاواک مشخص مي شود. همچنين بايد توجه داشت در شمارش مد، براي هر بردار موج دو راستاي مستقل قطبش وجود دارد.
لازم است در اينجا قطبش دقيق تر بررسي شود. در صورتي که ? و ? مختصات قطبي بردار موج باشند، آنگاه مولفه هاي دکارتي آن خواهد شد:
(2-39)سپس با انتخاب مناسب بردارهاي قطبش عرضي خواهيم داشت:
(2-40)(2-41)) (cos? cos? cos? sin? sin?)به راحتي مي توان نشان داد:
(2-42)در آينده از اين اتحاد بهره خواهيم برد.
بطور خلاصه حالت ميدان را مي توان به صورت حاصلضرب حالت تک تک مدها بيان نمود:
(2-43)در برخي موارد مي توان رابطه (2-43) را مختصرنويسي نمود به گونه اي که
(2-44)پتانسيل هاي برداري کلاسيک و براي کاواکي در مد k طبق روابط (2-26) و (2-27) بر حسب و بيان مي شوند را مي توان در اينجا تبديل به عملگرهاي کوانتومي بر حسب و نمود. پس خواهيم داشت:
(2-45)

(2-46)
در گام آخر اين معادلات از روابط (2-30) و (2-31) استفاده شده است.
بنابراين در تبديل الکتروديناميک کلاسيک به الکتروديناميک کوانتومي، عملگرهاي خلق و فنا و (صرفنظر از يک ضريب) جايگزين ضرايب فوريه کلاسيکي و مي شوند. عملگر پتانسيل برداري با جايگذاري روابط (2-45) و (2-46) در رابطه (2-21) خواهد شد:
(2-47)در ادامه عملگرهاي ميدان الکتريکي و مغناطيسي مربوط به مد k، و را مي توان با جايگذاري روابط (2-45) و (2-46) در معادلات (2-23) و (2-24) بدست آورد.
(2-48)
(2-49)مقدار انرژي الکترومغناطيسي مد k براي حالتي که فوتون برانگيخته شده اند، برابر است با:
(2-50)در رابطه (2-50)، علامت بار به ميانگين زماني اشاره دارد که اين ميانگين گيري پس از محاسبه عنصر ماتريسي انجام مي شود. بنابراين با استفاده از روابط (2-48) و (2-49) انرژي بصورت زير بيان مي شود:

(2-51)انرژي حالت پايه پيامدي از کوانتش ميدان الکترومغناطيسي مي باشد.
به اين ترتيب هاميلتوني براي ميدان الکترومغناطيسي کل در کاواک خواهد شد:
(2-52)و انرژي کل تابش براي حالت به صورت زير بيان مي شود:
(2-53)
فصل سوم
پديده چرخش اپتيکي: رهيافت نظريه ميدان کوانتومي الکترومغناطيسي
3-1.مقدمه
ما در اين فصل مروري مي کنيم بر مرجع ]4[ که پديده چرخش اپتيکي را با استفاده از نظريه کوانتومي ميدان الکترومغناطيسي بررسي کرده است. رهيافت اصلي مقاله ]4[، بررسي مساله بصورت پراکندگي نور از اتم است. قبل از برخورد، نور قطبش خطي مشخصي دارد. فوتون هاي فرودي در اثر برخورد با مولکول، با قطبشي متفاوت پراکنده مي شوند. به عبارتي ديگر شاهد چرخش قطبش نور خواهيم بود. البته تغيير زاويه قطبش همراه با تغيير درجه بيضوي بودن بيضي قطبش است.
روشي که براي بيان پراکندگي از آن استفاده مي کنيم، روش ماتريس پراکندگي مي باشد. همچنين سيستم يکاها که ما انتخاب مي کنيم، سيستم SI مي باشد.
مي خواهيم زاويه چرخش قطبش باريکه فوتون قطبيده تخت را توسط محلولي که از مولکول هاي فعال اپتيکي تشکيل شده است، محاسبه کنيم. هاميلتوني بر هم کنش نور و اتم را از ابتدا بصورت بر هم کنش هاي دو قطبي هاي الکتريکي و مغناطيسي بيان مي کنيم.
در اپتيک کلاسيک، شدت باريکه ها (فرودي يا خروجي) و مشخصات بيضي قطبش هر يک از باريکه ها را مي توان با پارامترهاي استوکس بيان کرد. در نظريه کوانتومي، مقادير چشمداشتي عملگرهاي استوکس متناظر محاسبه مي شوند.
در ادامه از نماد گذاري هاي زير استفاده مي کنيم. معرف ماتريس واحد مرتبه7 دوم و معرف ماتريس هاي پائولي هستند. به ترتيب بيانگر عملگرهاي خلق و فناي فوتوني با بردار موج و قطبشي در راستاي بردار يکه مي باشند. به همين ترتيب معرف عملگرهاي خلق و فناي فوتوني با بردار موج و قطبشي در راستاي بردار يکه خواهند بود. بردارهاي ، تشکيل يک مجموعه متعامد را مي دهند، به طوري که داريم.

(3-1)
(3-2)
(3-3)
براي يک k مشخص، عملگر هاي استوکس، ، ، ، به صورت زير تعريف مي شوند. در اينجا = است.

(3-4)

(3-5)
(3-6)
(3-7)
3-2. ماتريس پراکندگي
درصورتي که نشان دهنده حالت ابتدايي سيستم در زمان و نشان دهنده حالت سيستم در زمان t باشد، با معرفي عملگر تحول زماني طبق رابطه (13.1.2) مرجع [2] خواهيم داشت:
(3-8)
اگرP عملگر زماني دايسون باشد آنگاه عملگر تحول زماني برحسب هاميلتوني طبق روابط (32.1.2) و (33.1.2) مرجع [2] به صورت زير است:
(3-9)
فرض مي شود که سيستم در زمان تحت اثر اختلال نبوده و تابع موج فوتون بصورت موج تخت است. آنگاه در زمان احتمال بودن در حالتي متناظر موج تخت طبق رابطه (62 .19) مرجع [3] به شکل زير نمايش داده مي شود. معرف عنصر ماتريس پراکندگي است.
(3-10)
با جايگذاري رابطه (3-9) در (3-10 ) ماتريس پراکندگي را ميتوان طبق رابطه (65.19) [3] به صورت زير تعريف کرد.
(3-11)
از طرفي عنصر ماتريس پراکندگي را ميتوان طبق رابطه (54 .19) [3] برحسب ماتريس واکنش8 به صورت زير تعريف کرد.
(3-12)
ماتريس واکنش را ميتوان بر حسب پتانسيل بصورت اختلالي بسط داد. به اين ترتيب ماتريس واکنش طبق رابطه (16.19) مرجع [3] بصورت زير در مي آيد.
(3-13)
از تکرار رابطه (3-13) تا مرتبه دوم اختلال خواهيم داشت


پاسخی بگذارید